semana 6

0:13

S… Speaker 2 (semana 6)

Hola, hola, hola. Hola, ¿qué tal? Muy buenos días, ¿cómo están? Vamos a ver qué es lo que tenemos que realizar esta semana 6 de nuestra clase y qué actividades tenemos que realizar por esta semana que es muy importante tener en cuenta el trabajo que debemos enviar.

0:44

S… Speaker 2 (semana 6)

Ok, en el transcurso de estos días y también en la forma en el cual lo debemos enviar. Entonces voy a compartir mi pantalla un rato. Acá está. Hola Cristian, ¿cómo estás? ¿Todo bien? Ok, acá está entonces mi aula virtual. En la sección anuncios tenemos...

1:22

S… Speaker 1 (semana 6)

En este caso, un anuncio. ¿Qué tal? Buenos días. El lineamiento de la evaluación T1, para que lo puedas descargar. Acá hay un error, debe ser en la semana 6, porque estamos en la semana 6. Tenemos la evaluación T1, que consta de dos partes, una de opción múltiple y otra de desarrollo.

1:49

S… Speaker 1 (semana 6)

Inició el lunes 27 de abril a las 13 horas y finaliza el 4 de mayo a las 13 horas. Entonces, bueno, acá hay CT2, en este caso, nuestro caso es T1. La de opción múltiple tiene un tiempo de 40 minutos. La de desarrollo tiene un tiempo de 80 minutos, en general. Debemos tener en cuenta lo siguiente, que esta evaluación, como has visto, consta de dos partes.

2:21

S… Speaker 1 (semana 6)

La primera parte son de 5 preguntas para marcar y son de 40 minutos. Una vez que tú inicias, tienes que finalizar la prueba, ¿no? Bueno, me refiero si ingresas a la de la parte 1. Parte 2, puedes hacerlo otro día, puedes hacerlo más tarde, ¿no? O sea, por ejemplo, si yo la parte 1 lo hice hoy en la mañana.

2:46

S… Speaker 1 (semana 6)

Y la parte 2 lo puedo hacer hoy en la noche, o lo puedo hacer mañana, o lo puedo hacer el viernes, sábado, domingo, el día que mejor se acomode para mí. Y esta prueba consta de 60 minutos. ¡Ojo! O sea, para desarrollar las tres preguntas son 60 minutos. Pero adicionalmente se te brinda 20 minutos adicionales para que tú puedas subir tu respuesta.

3:16

S… Speaker 1 (semana 6)

Por eso el tiempo total es 80. Pero no es que 80 minutos vas a pasarla resolviendo, no. Distribuye bien tu tiempo, por favor. Dichas pruebas se pueden dar en momentos diferentes, hora y o día diferente. Entonces eso es lo que debes también tener en cuenta. Para la evaluación, ok, para la evaluación, desarrollo parte 2, se debe tener en cuenta lo siguiente.

3:46

S… Speaker 1 (semana 6)

Desarrolla tu evaluación en una hoja en blanco, sin cuadrícula, utilizar lapicero azul, tomar la foto a los ejercicios y agregarlos al documento PDF y respetar el número de páginas del formato que son tres páginas como máximo. Bueno, no como máximo, sino son tres páginas.

4:08

S… Speaker 1 (semana 6)

Y las tres páginas se tienen que mantener. ¿Ok? Entonces, no pueden haber cuatro o cinco páginas, no puede haber una sola página o dos páginas. Tienen que haber exactamente tres. Y se te recomienda que lo puedas hacer como máximo el domingo 3 de mayo. ¿Para qué? Para evitar cualquier problema, para poder apoyarte de repente si es que tuvieses alguna inquietud o cosas por el estilo. ¿Ya? Perfecto.

4:39

S… Speaker 1 (semana 6)

Y si me voy acá a la parte de contenido, podrás ver que acá tenemos la evaluación T1. Ahí está. ¿Ok? Esto es lo que debemos desarrollar. Algunos ya lo están enviando, me parece bien. Algunos ya están...

5:00

S… Speaker 3 (semana 6)

desarrollando y de esa manera nosotros podemos estar trabajando lo correspondiente al curso. Sí, acá está, ya ves, algunos lo han enviado. Recuerda que esto es una suma de ambas cosas, la T1 se suma, se promedia. ¿Qué se promedia? Se promedia dos actividades. Se promedia

5:29

S… Speaker 3 (semana 6)

El examen de opción múltiple con el examen de desarrollo. ¿Ok? Entonces, eso es lo que vamos a tener acá. Es la suma de las dos. ¿Correcto? Ya. Perfecto. Entonces, esto es relacionado a la parte de acá. Tenemos dos secciones de cálculo 2 que deben desarrollar. No sé si tienes alguna duda, por favor, antes de comenzar con la clase. Coméntalo.

6:01

S… Speaker 3 (semana 6)

para poder despejarla, si es que tuvieses, ¿no? Y si no hubiese alguna duda, normal, también me dices, profe, todo claro, no pasa nada, no hay ninguna duda, ¿ok? Por mi parte, todo claro, profesor. Muchas gracias, correcto. ¿Quién más? Ha ingresado una persona adicional, creo. Cristian está, Javier. Hola, Javier, ¿cómo estás? Hola, profesor, buenos días.

6:32

S… Speaker 1 (semana 6)

¿Qué tal? ¿Todo claro? Sí, profesor, todo claro. Ya, bacán. Muy bien. Entonces, vamos a dar inicio con la sesión. Voy a apagar mi camarita para que todo fluya con normalidad, ¿ya? Muy bien. Acá está. A ver, a ver, para poder ver el chat. Listo. Ahora sí. Ya. Perfecto. Ponemos acá.

7:16

S… Speaker 1 (semana 6)

Hoy día lo que vamos a ver es cálculo de volúmenes de sólidos de revolución, método del disco y del anillo, módulo 5, semana 6, videoconferencia 6. Un ratito, por favor. Ya, ok, correcto. Entonces, eso es lo que vamos a hacer. ¿Qué es lo que vamos a trabajar? Vamos a tener primero la presentación del temario, lo que vamos a estar abordando, un poco de introducción al tema.

8:26

S… Speaker 2 (semana 6)

El desarrollo del contenido, conclusiones, referencias y consultas si estuviese. ¿Ya? Entonces empezamos con la primera parte. Lo primero que vamos a ver es esta parte de acá que se conoce como método del disco y el otro método del anillo o arandela, ¿ya? Que es otro método que también vamos a trabajar. ¿Ok? Ya, perfecto. Continuamos.

9:01

S… Speaker 2 (semana 6)

Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Primero nosotros debemos tener en cuenta a qué nos referimos ya al hablar, ¿ok? Al hablar, ¿a qué se refiere con revolución? Al hablar con revolución, ¿ok? Lo que nosotros hacemos referencia es que tenemos, mira, una figura plana.

9:33

S… Speaker 2 (semana 6)

Y esta figura plana lo que hacemos es hacerlo rotar alrededor del eje. ¿Ok? Hacerlo rotar alrededor del eje. Entonces tenemos acá el centro de la esfera, tenemos acá el radio, y entonces se genera justamente la esfera. ¿Correcto? Entonces, eso es lo que nosotros debemos tener en cuenta.

10:00

S… Speaker 1 (semana 6)

para hablar de sólidos de revolución. Ahora, acá hay un enlace que voy a compartirlo, ya, para que puedas ver a qué cosa nos referimos. A ver, acá está. Y acá me hablan de cuerpos que se generan al girar sobre un eje. Acá está el cilindro, está la esfera, está el cono. Estos sólidos son de revolución.

10:33

S… Speaker 1 (semana 6)

Y aunque no creas, esto también lo hemos visto en el cole, pues, ¿no? Lo hemos trabajado, lo hemos armado inclusive, ¿no? Y de esa manera para que tú lo puedas tener en cuenta y sepas, ¿no? Que a esos sólidos le llamamos sólidos de revolución, ¿ok? También tenemos ahí el cilindro, que el cilindro se origina al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus ejes.

11:05

S… Speaker 1 (semana 6)

Ahí tienes ese rectángulo, lo está haciendo girar alrededor de esta partecita de acá y obtenemos justamente el cilindro. Entonces por eso nosotros lo llamamos ahí sólido de revolución. ¿Ya? Perfecto. Continuamos. ¿Qué más? Tenemos acá por ejemplo el cono que también tenemos de un rectángulo. Lo que hacemos es hacerle girar.

11:39

S… Speaker 1 (semana 6)

alrededor de uno de sus lados, ¿ok? Ahí está, gira, gira. A este de acá se le conoce generatriz y a este de acá es la altura, ¿no? Y acá tenemos el sólido justamente que se genera. Y tenemos como caso, como caso estamos proponiendo lo siguiente. Me dice acá, una empresa dedicada a la fabricación de cerraduras de puertas.

12:07

S… Speaker 1 (semana 6)

está analizando la posibilidad de modificar el diseño de las manijas que produce. Para ello, modela la manija de una puerta con el objetivo de determinar la cantidad de material necesario para su fabricación. Y utiliza la región limitada por las funciones x cuadrado menos 2x, que es la de color azul, y y igual a x.

12:35

S… Speaker 1 (semana 6)

Así como eje de revolución dice el Y igual a 4, o sea lo voy a estar haciendo girar alrededor de esta recta horizontal que es Y igual a 4 que es paralela al eje Y. Me piden determinar el volumen del sólido modelado teniendo en cuenta que las medidas consideradas en el diseño están en centímetros. Correcto, entonces tengo acá el sólido, bueno el sólido no, sino tengo la región limitada.

13:07

S… Speaker 1 (semana 6)

¿Ok? Entre ambas funciones. Y en base a eso lo que yo hago es hacerlo girar alrededor de este eje. ¿Ok? Y lo que nosotros vamos a hacer acá es obtener un sólido de esta forma, ¿no? Con un huequito, pues, ¿no? Porque si lo hago girar alrededor de él va a haber una parte vacía. ¿Ya? Entonces eso es lo que nosotros vamos a estar trabajando en esta partecita de acá. Ahora.

13:40

S… Speaker 1 (semana 6)

Para ello, nosotros vamos a tener en cuenta algo como saberes previos. Vamos a ver acá este enlace. Acá está. Lo voy a compartir. Y acá lo tenemos. A ver, espérame. Ok, ahí va. Ahí va, ahí va. Me acabo de dar cuenta que la cuenta de...

14:44

S… Speaker 2 (semana 6)

De la herramienta lo tengo en otro correo.

15:03

S… Speaker 1 (semana 6)

Espérame, espérame, por favor. ¿Qué hice? ¿Qué hice? ¿Qué hice? ¿Qué hice? Espérame, espérame, por favor. Ya, ahora sí abro. Ya, ok. Y empezar. Este es el código. Copiar enlace. Me confirma si es que te puedes unir ya. A ver. Verifícalo, por favor. Sí se puede, profesor.

16:41

S… Speaker 1 (semana 6)

Ya, ok, listo, iniciamos con los dos nada más. Ok, a ver, dice, ¿no? Una figura tridimensional que ocupa un lugar en el espacio y tiene volumen se llama sólido geométrico. ¿Verdadero o falso? ¿Verdadero, no? Muy bien. Ok. Recuerda, ¿no? O sea, me están preguntando si es de rotación. ¿Cómo se llama?

18:12

S… Speaker 1 (semana 6)

Se llama sólido de revolución. ¿Correcto? Uy, ¿qué? ¿Recién marcó? Ah, o alguien se está conectando. ¿Cómo es? Ya, ok. Ok. ¿Cuál es? Pi por radio al cuadrado por la altura. Muy bien. Volumen, ¿no? Ok. Verdadero. Muy bien. Ya hemos visto hace un ratito, ¿no? Listo. Perfecto. Lo bueno es que han ocupado los dos primeros puestos.

20:00

S… Speaker 1 (semana 6)

Muy bien. Felicitaciones Javier y Cristina. Ya, perfecto. Continúo. El logro de aprendizaje de nuestra sesión es que al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas de ingeniería calculando el volumen de sólidos de revolución por el método del disco y del anillo, usando la integral definida y siguiendo un proceso lógico fundamentado en la obtención de la solución.

20:30

S… Speaker 1 (semana 6)

Entonces, vamos a ver primero lo que viene a ser este sólido de revolución. Ya lo has visto en las animaciones, pero básicamente date cuenta que es que una figura, una parte plana, es la que se empieza a mover alrededor de algún eje de rotación. ¿Ok? Entonces, esto es lo que nosotros estaríamos hablando de sólido de revolución. Ahora, al hablar del método del disco, señores,

21:00

S… Speaker 1 (semana 6)

Es una de las maneras de trabajar justamente este tipo de volúmenes, ¿no? De estos tipos de sólidos, ¿ok? Y lo que se hace básicamente es tomar como referencia algo que nosotros conocemos, ¿ya? ¿Qué conocemos? De que si nosotros hacemos girar, en este caso, un sólido, siempre vamos a tener como un rectángulo, va a haber un eje de revolución,

21:30

S… Speaker 1 (semana 6)

Y lo que hacemos es girar y lo que se va a formar es justamente un disco. O sea, todas las que son sólidos de revolución, en toda su forma, siempre van a estar conformados por discos. Y acá empezamos con esta parte del método del disco. Por ejemplo, acá tienes un sólido cualquiera. Yo cojo cualquier parte de este sólido y yo voy a ubicar siempre un disco.

22:02

S… Speaker 1 (semana 6)

Acá el eje de rotación es el eje X. Y mira, del eje X hacia la parte de la curva, o sea, el color rojo que es la función, yo voy a tener un rectángulo que justamente es el que va a formar el disco. Bueno, y esto se forma en todo este lado, ¿no? ¿Ok? Yo siempre trato de hacer un poco la analogía...

22:26

S… Speaker 1 (semana 6)

de este disco, de repente con lo que nosotros vemos en nuestro entorno, sobre todo en las épocas de verano. Pregunta, ¿tú has visto en las épocas de verano que hay personas que salen a las calles y venden las sandías en tajadas, ¿sí o no? O las piñas en tajadas, ¿sí o no? Me confirmas en el chat. ¿Has visto o no has visto? Sí, profesor. Ya, entonces, ese, por ejemplo, sería como...

22:54

S… Speaker 1 (semana 6)

Tú tienes un sólido y lo cortas en tajadas y todas ellas, ¿qué cosa tiene? Formas de discos. Todas ellas. Y si hacemos la otra analogía de otra fruta, por ejemplo, la piña, normalmente a veces la piña también lo cortan en tajadas y hacen algo similar. Pero, ¿qué pasaría si yo a la piña oye a otra fruta mejor la papaya? Hay un centro vacío donde vienen las pepas.

23:23

S… Speaker 1 (semana 6)

Si yo lo corto igual y quito las pepas, va a haber un hueco. Ese, por ejemplo, no voy a utilizar el método del disco, pero se usa como base y lo que se va a emplear sería como la parte de arandelas, que es lo que vamos a ver. Entonces, ¿qué es importante acá? Identificar quién es la función. ¿Qué es importante acá? Identificar esta parte de acá que estoy señalando de color rojo. ¿Sabes por qué?

23:52

S… Speaker 1 (semana 6)

¿Este es el F de X? Sí, este es F de X, correcto. Todo esto de acá del eje hacia arriba es F de X. ¿Pero por qué es importante? ¿Sabes por qué? Porque nosotros vamos a trabajar con este disco. Y si este es un disco, las caras son círculos. Y si son círculos, del centro hacia arriba tengo el radio.

24:14

S… Speaker 1 (semana 6)

El espesor del disco va a estar dado por un diferencial, un incremento, un delta de X. ¿Cómo? La diferencia de un valor inicial y un valor final me da el delta de X. Eso es lo que yo tengo que tener en cuenta acá. Entonces de acá nosotros sacamos lo siguiente. Ahí está, sale mi disco, que es mi diferencial del volumen. Así como en el área bajo la curva teníamos el diferencial del área.

24:45

S… Speaker 1 (semana 6)

Acá tenemos el diferencial del volumen, donde el radio está dado por la función f evaluada en el xi y el espesor está dado por el delta de xi.

25:00

S… Speaker 1 (semana 6)

¿Por qué te preguntamos hace un ratito cuál era la fórmula del volumen del cilindro? Porque si tú te das cuenta, si yo este disco lo invierto, bueno, sí, lo volteo, ¿a qué se refiere? Mira, hago así. Así, lo volteo, porque nosotros estamos acostumbrados de ver el cilindro así, de esta forma, ¿sí o no? De esta manera estamos acostumbrados a ver el cilindro. ¿No? ¿Está bien o no?

25:27

S… Speaker 1 (semana 6)

Si nosotros lo vemos así, sería un cilindro pequeñito. ¿Y cómo se calcula el volumen del cilindro? A pi por radio al cuadrado por la altura. Esta es la formulita del volumen de un cilindro. Ahora, pero para nosotros, este disco chiquitito, ¿qué cosa es? El delta del volumen, o sea, la variación del volumen, porque es pequeñito, va a ser chiquitito.

25:53

S… Speaker 1 (semana 6)

Ok, entonces, si yo quiero la variación de este volumen que ya tenemos acá, utilizamos la información de la función, sería así, pi. ¿Quién es el radio? El radio es desde el eje hasta el borde, y esto está dado por f de x. Acá está, mira, f de x al cuadrado. Y la altura, por eso lo volteé, ¿no? Te dije, mira acá, vamos a voltear el disco, ¿no? Y la altura estaría dado, ¿por quién? Por el delta de x.

26:25

S… Speaker 1 (semana 6)

Esta formulita sería el delta del volumen, el diferencial del volumen. ¿Correcto? ¿Sí? ¿No? Sí. Ok, perfecto. Ya, bien. Continuamos entonces. A ver, ¿dónde está mi mouse? Acá está. Ok. Entonces, bajo esa perspectiva, que yo ya tengo mi diferencial del volumen, ok.

27:09

S… Speaker 1 (semana 6)

Lo que nosotros podemos hacer a esta formulita es, ¿qué cosa? Determinar la sumatoria desde el primero hasta el enésimo disco. Porque esto va a ser diferente, después van a haber varios, uno, dos, tres, van a haber un montón acá, van a haber varios. Entonces cuando n tiende al infinito, el límite, el límite cuando n tiende al infinito.

27:37

S… Speaker 1 (semana 6)

Si nosotros hacemos esto, al menos esta expresión del n tiende al infinito, el límite de la sumatoria, esto ya lo hemos visto anteriormente en la parte de qué, en la suma de Riemann, que me daba justamente la justificación para hacer qué cosa, la integral definida. Entonces, ¿esto a qué va a ser igual? Integral definida de a a b, ¿de quién? De la expresión que hemos determinado arriba, pues, ¿no?

28:03

S… Speaker 1 (semana 6)

Entonces, ¿de quién? Sale el pi porque es una constante, la función al cuadrado por el diferencial de x. Y esa es la expresión que nosotros estaríamos trabajando. ¿Me dejo entender? Sí, ¿no? Sí, profesor, todo claro. Ya, perfecto. Muy bien. Continuamos. Entonces, dicho esto, el teorema que empleamos acá es, ¿no? Sea f una función continua.

28:35

S… Speaker 1 (semana 6)

en el intervalo AB, recuerda, ¿no? O sea, que sea continua es que tú, por ejemplo, gráficamente puedes hacer el gráfico sin levantar el lápiz del papel. Y además, que esta función f de x sea mayor o igual a 0 en este intervalo cerrado, el volumen del sólido obtenido alrededor del eje x de la región limitada por la curva tal, desde x igual a A hasta x igual a B,

29:06

S… Speaker 1 (semana 6)

¿Ok? Con Y mayor a 0 y el eje X está dada por la siguiente. Es pi, este sería el radio al cuadrado por la altura, por el diferencial. Entonces, eso es lo que nosotros vamos a estar a empleando. Hasta acá, ¿se entiende? ¿Sí? ¿No? Sí, pues se lo tengo que ver. Ya, perfecto. Entonces, veamos el primer ejemplito.

29:40

S… Speaker 2 (semana 6)

A ver, intentamos resolver con lo poco que hemos entendido.

31:16

S… Speaker 1 (semana 6)

A ver, vamos, intentamos, intentamos. ¿Sale 8pi? 8pi, no. A ver, verifica. Verifican, verifiquen. 8pi, 8pi. Ah, no, sí, sí sale 8pi. A ver, vamos a ver. Solución gráfica. Tenemos acá la función. ¿Es necesario graficar, profe? No, no es necesario, pero acá tienes, ¿no? Acá tienes la función, raíz cuadrada de X. Este es el radio, muy importante.

31:54

S… Speaker 1 (semana 6)

Y aplicas la formulita. Como va de 0 a 4, esos son tus límites de integración. Colocas pi por el radio al cuadrado diferencial de x. Y esto sale 8pi, pues, ¿no? Acá esto se va, ¿ok? ¿Qué te va a quedar? Te va a quedar así, pues, ¿no? Pi integral de 0 a 4. ¿De quién? De x, pues, ¿no? Diferencial de x.

32:20

S… Speaker 1 (semana 6)

Correcto, eso es de ahí, ¿no? Sí, se va, se va, ok. ¿Y de ahí qué hacemos? Reemplazamos, pues, ¿no? Esto sería pi, y este es x al cuadrado, ¿ok? ¿Sobre quién? Sobre 2. ¿De dónde a dónde? De 0 a 4. El 0 no, porque se va a cancelar, reemplazas el 4, sale 16 entre 2, me sale 8 pi. ¿Ok? ¿Está bien? ¿Sí? ¿No? Sí, profesor, todo claro. Perfecto, muy bien.

32:54

S… Speaker 2 (semana 6)

Continuamos. Siguiente problemita. Ahí está. Intentamos. Ya, ok. A ver, vamos, intentamos. Sale 31 pi entre 5. 31 pi quintos, ¿no? Muy bien. ¿Quién me está hablando, Cristian o Javier? Javier, profesor. Javier, ok. Muy bien, Javier.

35:00

S… Speaker 1 (semana 6)

Gracias. Perfecto. Así es. Muy bien. Es correcto. Ahora vamos a ver. Lo único que tenemos que hacer es aplicar nuestra formulita. Gráfica. Acá está la función. Va de dónde a dónde. De 1 a 2. Si puedes graficarlo bien, sería genial. Porque algunas funciones son muy conocidas por nosotros. Entonces, acá estoy identificando, en este caso, el rectangulito que va a girar. Y que va a generar el sólido de revolución.

35:32

S… Speaker 1 (semana 6)

Entonces el volumen es de 1 a 2 de pi por radio. Radio normalmente es la función. La función es x al cuadrado al cuadrado. Y de ahí desarrollo, ¿no? Pero esto recuerda, pues, ¿no? Imagino yo que si lo has hecho, este es 1 sobre 2. Este es x a la 4, diferencial de x. Y esto que es igual a pi por x a la 5 sobre 5.

36:00

S… Speaker 1 (semana 6)

Y lo tengo que evaluar de dónde en dónde, de 2 a 1. Y obtenemos esto. ¿Se entiende? Ok, eso entonces es lo que has hecho. ¿Qué más? Luego de eso, tenemos método del disco, pero ahora respecto al eje Y, o sea, alrededor del eje Y. Porque no siempre va a girar en torno al eje X.

36:32

S… Speaker 1 (semana 6)

ya no siempre va a girar en torno al eje X, sino va a ser al eje Y también puede haber. Por ejemplo acá dice, el volumen obtenido al girar la región limitada por la curva, ahora mira cómo está expresada la función, en términos de Y, o sea la ecuación está en términos de Y, y las rectas de Y igual a C, Y igual a D, C menor que D.

37:02

S… Speaker 1 (semana 6)

¿Alrededor de quién? Alrededor del eje Y. ¿Sería igual a quién? A pi la integral de CAD de G de Y al cuadrado por diferencial de Y. Si te das cuenta, en realidad tienes la misma estructura. Tienes la misma. ¿Ok? Entonces, ¿qué es lo que va a suceder acá? Lo único es que lo que nosotros nos tenemos que dar cuenta o identificar es alrededor de qué eje va a rotar.

37:33

S… Speaker 1 (semana 6)

Eso es lo importante que debemos considerar. Entonces pasamos para acá. Mira, ejemplo 3. ¿Cómo me doy cuenta? Dice, dibujar la región, ya acá me piden dibujar, limitada por las curvas, acá está, mira, y igual a 2 menos x cuadrado.

37:53

S… Speaker 1 (semana 6)

¿En dónde? En y igual a 1, y igual a 0, x igual a 0, y hallar el volumen del sólido generado al hacer rotar en el eje y. Entonces, cuando a mí ya me dice esto alrededor del eje y, entonces yo tengo que verificar, ya yo tengo que verificar que mi expresión, mi ecuación, dependa de y. Y acá te das cuenta que no está dependiendo de y.

38:21

S… Speaker 1 (semana 6)

Los límites, mira, si me dan, ya me dan los límites. Y igual a 1, Y igual a 0. Ya me están dando. ¿Ok? Entonces, si yo grafico, primero grafico. Este es 2 menos X cuadrado. 2, empiezo acá en el 2. Menos X cuadrado es cóncava hacia abajo, va para acá. ¿Dónde corta? En menos raíz de 2 y en raíz de 2. Ahí corta.

38:47

S… Speaker 1 (semana 6)

Y igual a 1, mira, acá está, este de acá es Y igual a 1, ahí está, Y igual a 1, correcto. Y igual a 0, este es Y igual a 0, el Y igual a 0 es el eje X, ¿ok? Y igual a 0, correcto. Y el eje X, ¿quién es el eje X? No, el X igual a 0, el eje Y es el X igual a 0.

39:12

S… Speaker 1 (semana 6)

Mira, ¿sabes por qué es importante toda esta información que te han dado estas rectas? Y la curva en sí también. ¿Este quién es? Esta es mi función. Este es FDI. ¿Sabes por qué es importante? Porque la región que tú vas a hacer rotar es la que está limitada, la que está encerrada. Y si te das cuenta, en X igual a 0, voy a poner otro color, ¿ya? En X igual a 0, no, este no, verde.

39:40

S… Speaker 1 (semana 6)

En X igual a 0 es toda esta recta de acá. Toda esta recta de acá. El Y igual a 0 es toda esta recta de acá. Y igual a 1 es toda esta recta de acá. Y la función es la curva de color azul. Te das cuenta que el sector...

40:00

S… Speaker 1 (semana 6)

amarillo está limitada por las cuatro. ¿Sí? ¿Ok? Entonces, eso es importante. ¿Ya? Eso es lo que tú tienes que tener en cuenta. Entonces, ahí tenemos las expresiones. Y como va a girar alrededor del eje Y, entonces, mi diferencial del volumen va a tener justamente esta forma, pegado hacia el eje Y. ¿Ok?

40:31

S… Speaker 1 (semana 6)

Entonces, esto no me sirve así como está, tengo que despejar el x. ¿Cómo despejo? El x cuadrado que está con negativo lo mando positivo. Acá me quedo con el 2, pasa el y, 2 menos y. Luego, ¿qué hago? Le saco la raíz cuadrada porque tiene que estar en términos de y. Raíz cuadrada de quién? De 2 menos y. Esto que has hecho acá es lo que está acá abajo. ¿Ok?

41:00

S… Speaker 1 (semana 6)

Entonces ahora mi disco al girar alrededor del eje Y voy a tener como esta figura de acá. Nuevamente voy a tener el radio. ¿El radio quién va a ser? El radio va a ser la expresión que ahora depende de Y. Esta va a ser la expresión, la que depende de Y. Y el diferencial de volumen que va en este caso de los límites, que en este caso va desde la recta Y igual a 0 hasta la recta Y igual a 1.

41:31

S… Speaker 1 (semana 6)

Y planteo, pi de 0 a 1, ¿de quién? Del radio que es raíz de 2 menos x al cuadrado por diferencial de y. Se va la raíz con el exponente, ahí está. E integro esto de acá. ¿Cómo se integra? Colocas acá el pi, colocas acá 2y menos y al cuadrado sobre 2. Y todo esto lo tengo que evaluar sobre 2.

42:01

S… Speaker 2 (semana 6)

Todo esto lo tengo que evaluar de 0 a 1. Y al reemplazarlo obtenemos 3 pi medios. ¿Se entendió? ¿No se entendió? Sí, muy cierto, claro. Ok, muy bien. Perfecto. Seguimos. Ahora vamos a ver el siguiente caso. Hasta ahí se entiende entonces, ¿no? Método de los discos. Un ratito, por favor.

43:18

S… Speaker 2 (semana 6)

Ahora vamos a ver método de los anillos. ¿En qué consiste método de los anillos? Método de anillos, dice. Acá se me presenta lo siguiente. El método de los discos puede extenderse para cubrir sólidos, ¿ok? De revolución huecos. Ya, ahí está, mira. De revolución huecos.

43:56

S… Speaker 1 (semana 6)

reemplazando el disco con una arandela, o también conocido como anillos. La arandela se forma al girar un rectángulo alrededor del eje como se muestra en la figura, o sea, la que está. Es un rectángulo, pero mira, hay un huequito, hay un huequito, hay un huequito que no hay, y esto va a girar. Y al hacerlo girar,

44:26

S… Speaker 2 (semana 6)

Va a salir esta figura de acá, que es muy parecida a una dona. ¿Me dejo entender hasta ahí? Sí, no, coméntame, por favor. Sí, toquete lo profesor. Ya, perfecto, muy bien. Entonces, eso es lo que nosotros debemos considerar.

45:00

S… Speaker 1 (semana 6)

Entonces, nosotros vamos a tener en cuenta lo siguiente. Cuando la región a girar está limitada por dos funciones, o sea, acá va a haber, mira, dos funciones continuas en este intervalo AB, las rectas X igual a A y X igual a B, lo que nosotros vamos a tener es un sólido de esta forma, mira.

45:29

S… Speaker 1 (semana 6)

Tienes acá una función y tienes acá otra función. Lo que nosotros estamos determinando es un nuevo sólido donde la parte interna está quedando hueca. Y si yo cojo cualquier parte de este sólido siempre voy a tener un anillo, como una arandela, un hueco al centro.

46:00

S… Speaker 1 (semana 6)

Y acá va a ser importante tener en cuenta algo. El espesor va a ser lo mismo que lo que hemos estado viendo hace un momento. Pero acá va a haber dos cosas. Va a haber dos radios. Un radio hacia la parte de afuera y otro radio hacia la parte de adentro. Mira, la parte de las caras te hace recordar, te recuerdas lo que tú has visto en el cole. Me dices si has visto esto en el cole ya.

46:28

S… Speaker 1 (semana 6)

¿Te recuerdas cuando tú hallabas el área de un círculo, pero después al círculo tenías que quitar lo que está adentro? ¿Has hecho eso alguna vez en el jole? Del círculo le quitabas la parte de adentro del círculo también. Y te pedían determinar las áreas. No sé si recuerdas. Creo que sí. Sí, ¿no? ¿Cómo se le llamaba esto? Esto se le llamaba corona circular. ¿Y cómo hallabas el área de la corona circular? Tenías un radio mayor.

47:02

S… Speaker 1 (semana 6)

Tenías un radio menor y lo que hacías era restar los radios. Entonces esta idea de lo que tú hacías antes en el cole de restar es la que vamos a llevar acá. Entonces tenemos acá el diferencial del volumen que ahora es un anillo. Acá tienes un primer radio que es de acá para acá, que es G de X. Y tenemos otro radio que es de ahí hacia arriba, que en este caso es el F de X.

47:31

S… Speaker 1 (semana 6)

Es como decir, a todo le quito lo del centro. Eso es lo que yo tendría que hacer. Entonces, ¿el radio a qué es igual? A F de X. ¿Correcto? El mayor y el radio menor a G de X. Entonces, si yo quiero calcular el volumen, yo calcularía el volumen de todo el disco, como hemos estado haciendo hace un momento, pero le voy a quitar el volumen del disco hueco, pues.

47:58

S… Speaker 1 (semana 6)

Entonces, menos pi por r al cuadrado por h. ¿Te das cuenta? Le quito. Ahora, como tú ya sabes, el radio qué cosa es, ¿no? Acá he factorizado r y h. Me queda r al cuadrado menos h al cuadrado. r qué cosa es, es la función, la curva de afuera, y el r menor a qué es igual, a g de x, que es la curva de adentro.

48:25

S… Speaker 1 (semana 6)

Entonces, de ahí nosotros podemos obtener la formulita para el volumen empleando el método de las arandelas.

48:38

S… Speaker 2 (semana 6)

Entonces tenemos acá f y g dos funciones continuas en a a b, f de x mayor o igual a g de x para todo x en el intervalo cerrado a b. El volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x, la región limitada por f de x y g de x y las rectas x igual a a, x igual a b. Entonces es este expresivo.

49:04

S… Speaker 2 (semana 6)

Acá digamos que lo diferente es la diferencia de estas partes de acá. Eso es lo diferente. ¿Correcto? Eso es lo diferente. ¿Ya? Entonces anota la formulita y vamos a emplear eso de ahí en el siguiente problemita. Te voy a quitar eso, ¿ya? Ok. Ejemplo 4. A ver, intentamos primero hacer un pequeño bosquejo del gráfico.

52:11

S… Speaker 1 (semana 6)

Vayan resolviendo, por favor. Intenta hacer el gráfico. Dame un par de minutitos, por favor. Voy a abrir un ratito la puerta acá. Ya, vaya resolviendo.

55:15

S… Speaker 2 (semana 6)

Ya, ok. ¿Cuánto salió? Coméntenme. Cristian, Javier. ¿Se pudo o no se pudo? A mí me salió 117 pi entre 5. ¿117 pi? Sí, 117 pi entre 5. Ajá, muy bien. A ver, vamos a ver. Javier, ¿tú cómo vas? ¿Todo bien? No, Cristian, Cristian. Cristian, ¿cómo vas? ¿Todo bien? Cristian. Todo bien, profe.

55:50

S… Speaker 1 (semana 6)

Ya, ok, ok, perfecto. A ver, vamos a ver. Mira, acá hay algo diferente a los demás, ¿no? Porque acá me dice, mira, alrededor del eje X, pero acá hay una palabrita interesante. Me dice la región acotada. Profe, ¿qué quiere decir la región acotada? O sea, quiere decir que en algún momento estas dos de acá se cortan. Eso es lo que quiere decir. Ahora, si tú haces el gráfico,

56:24

S… Speaker 1 (semana 6)

Te vas a poder guiar. Ah, mira, profe, sí se corta, ¿no? Si has hecho con el geogebra aún más, ¿no? Mira, profe, va desde el menos uno hasta el dos. Pero ponte el caso que tú no lo graficarías. Ponte el caso que lo hagas así al algebraico nada más. Lo primero que debemos hacer en este tipo de problemas, siempre que me digan algo acotado con algo.

56:47

S… Speaker 1 (semana 6)

Tengo que ver con qué es lo que se va a cotar para igualarlo y para poder determinar en qué valores de x son justamente donde se van a estar cortando. Por eso acá lo que hacemos es la primera función lo igualo a la segunda función. Y desarrollo mi ecuación cuadrática, ¿no? Menos x, menos 2, aspita x menos 2 por x más 1 igual a 0.

57:15

S… Speaker 1 (semana 6)

X es igual a 2, X es igual a menos 1. Listo, ahí está. ¿Te das cuenta? Entonces ya tengo mis límites de integración. Ahora, el tema es identificar quién es la curva superior y quién es la curva inferior. Esta es la de azul, pues no te das cuenta que es una recta. Pues este de acá, ¿quién es? Este de acá no hay vuelta que darles y es el X más 3. Y este de acá abajo, ¿quién es? Este de acá es el X al cuadrado y este es más 1. Ahí está, mira.

57:45

S… Speaker 1 (semana 6)

Entonces, ¿qué hago? El volumen va pi menos 1 a 2, que son los límites de integración. ¿De quién? Del radio mayor al cuadrado menos el radio menor al cuadrado. Acá, mira, ya no le hemos restado, pero si tú quieres, redúcelo, ¿no? O sea, esto será así.

58:12

S… Speaker 1 (semana 6)

menos x al cuadrado, más x, ok, 3 menos 1 sería más 2, y de ahí tendríamos que integrar esto, ¿no? Cuando lo integremos, ojo, esto es lo que está arriba, cuando lo integremos vas a integrar menos x al cubo sobre 3, más x al cuadrado sobre 2, más 2, que vendría a ser más 12. Listo, exactamente.

58:41

S… Speaker 2 (semana 6)

Y te sale 117 quintos pi, ¿no? Recuerda que lo evalúas de menos 1 a 2. ¿Se entendió, Javier, Cristian? ¿Sí? ¿Todo claro? Sí, profesor. Ya, acá. Muy bien. Continuamos entonces. Ahora vamos a ver algo similar. Uy, se salió la respuesta. Espérame, espérame, espérame. ¿Qué pasó? A ver, acá, allá.

59:17

S… Speaker 1 (semana 6)

Listo, ahora sí. Siguiente ejemplo. Lo mismo, pero ahora alrededor de quién? Alrededor del eje Y. No hemos colocado una fórmula como tal, pero ya te das cuenta que va a ser la misma, ¿sí o no? La única diferencia, ¿cuál va a ser? La única diferencia es que ahora va a estar todo en términos de Y. Mira, y acá está casi, casi, casi. ¿Por qué digo casi? Porque tengo el 8 que me está estorbando.

59:48

S… Speaker 1 (semana 6)

¿Ok? Y me dice hallar el volumen del sólido generado cuando la región limitada por las gráficas tal y x igual a 2 gira alrededor.

1:00:00

S… Speaker 1 (semana 6)

del eje Y. Entonces, esta es la otra función. X igual a 2. ¿Ok? Entonces, si yo hago mi gráfica, acá está. Este de acá, recuerda que así de repente no me conviene trabajarlo. Lo que tengo que hacer es X es igual a quién? A Y al cuadrado sobre 8. Ahí está. Eso es lo que tengo que hacer. Ahora sí. Gráfico vendría a ser esta de acá, la curva azul.

1:00:30

S… Speaker 1 (semana 6)

El X igual a 2 es esta recta vertical. Esta región va a girar alrededor del eje Y. Entonces tenemos que ver en qué valores cortan, pero ahora respecto a Y. ¿Ok? Entonces calculamos los límites de integración. ¿Correcto?

1:00:51

S… Speaker 1 (semana 6)

Y esto sería algo así. Mira, ojo, acá dice x es igual a y al cuadrado sobre 8. Y mira acá que dice x es igual a 2. Por lo tanto, esos x son iguales. ¿Acá qué cosa estás igualando? Acá estás igualando x es igual a x. Solamente que el x de arriba es el y al cuadrado sobre 8 y el x de abajo es el 2.

1:01:18

S… Speaker 1 (semana 6)

Desarrollo, sale 16. Raíz cuadrada, tú sabes que sale más, menos, 4. Listo. Ya tengo los límites de integración. Ahora, con ello, tengo que determinar mi expresión. ¿Ok? Mi expresión. ¿Para cuál? Para calcular mi radio que voy a determinar. Entonces, ojo, es alrededor del eje Y. Entonces...

1:01:45

S… Speaker 1 (semana 6)

Voy a tener este radio, el radio pequeñito que va a la curva de color azul y el radio grandote que siempre va a ser el mismo. ¿Y qué longitud tiene, mira, el radio grandote? El radio grandote siempre es 2. Siempre es 2 el radio grandote. Y el radio pequeñito, en este caso, es X menos 0. ¿Ok? O sea, es... ¿Por qué X? O sea, de manera, digamos...

1:02:14

S… Speaker 1 (semana 6)

Arbitraria tomo, ¿no? A ver, ¿cuánto es esta longitud? X, pues. Porque esto se puede mover. Más arriba puede ser un poco más largo, más largo, más largo. Pero, o sea, va a estar relacionado por el valor de X. ¿Y le resto quién? Le resto el 0. ¿Por qué el 0? Porque está girando alrededor del eje Y. Entonces no hay nada que restarle. En algunos casos sí voy a tener que restar. Entonces me sale X. La curva superior o la curva externa es el 2. Entonces empiezo.

1:02:44

S… Speaker 1 (semana 6)

radio mayor, 2 al cuadrado, menos el radio menor que es el x al cuadrado. Ahí está. ¿Pero quién es el x? Acá lo habíamos puesto, ¿no? x es igual a quién? A y al cuadrado sobre 8. Ahí está. Entonces, en vez de x, pongo y al cuadrado sobre 8, todo al cuadrado. 2 al cuadrado y es 4. Listo. Y ahora tengo que desarrollar de menos 4 a 4.

1:03:15

S… Speaker 1 (semana 6)

¿No? Esto ya sabes cómo desarrollar. Acá tú lo vas a elevar al cuadrado, bueno acá es 4, menos, acá y al cuadrado al cuadrado es 4, 8 al cuadrado es 64, y entonces empiezo a integrar. ¿Cuál es la integral? Este es 4y, menos y, 4 más 1 es 5, el 5 pasa a dividir, y me va a salir 320.

1:03:41

S… Speaker 1 (semana 6)

Y esto de acá lo que voy a hacer es evaluarlo de menos 4 a 4. ¿Se entendió hasta ahí? Si yo evalúo esto, obtengo esto de acá.

1:03:53

S… Speaker 1 (semana 6)

Si en algún momento me dan una pregunta que no sea de contexto, y estoy hallando volumen, área o longitud de curva que vamos a ver después, o superficie de revolución, colocas unidades cúbicas, si es volumen. Si es área, unidades cuadradas. Si es longitud, simplemente unidades. ¿Se entiende? Sí, no, confírmame, por favor. Sí, profesor. Ya, ok, muy bien. Entonces...

1:04:24

S… Speaker 2 (semana 6)

Continuamos. Paso para acá. Tenemos un siguiente ejemplo. Ahora sí te dejo a ver un minutito. Ya, a ver, intentamos. Si tienes el GeoGebra, apóyate en el GeoGebra para graficar. Apóyate en el GeoGebra.

1:06:23

S… Speaker 1 (semana 6)

Intentamos, intentamos, intentamos. ¿Cómo vamos? ¿Estás graficando o no? Sí, profesor, lo estoy haciendo en GeoGebra. Ya, bacán, muy bien. Está bien, está bien. Cristian, ¿cómo vas? ¿Estás graficando también con GeoGebra? ¿Sabes emplear GeoGebra, Cristian?

1:12:17

S… Speaker 2 (semana 6)

¿Ya? ¿Se pudo o no se pudo? A ver. 875 pi entre 32. ¿Cuánto, cuánto, cuánto? 875 pi entre 32. Perfecto. Muy bien, Cristian. No, Cristian, no te hablo. Javier. Muy bien, Javier. Ok. Al igual que la anterior, me piden alrededor del eje Y, la región limitada por ambas curvas. Correcto, ahí está.

1:12:56

S… Speaker 1 (semana 6)

Ya está, mira, en función a y. Entonces, si hago mi gráfico, imagino que te habrás apoyado así. Acá en el gráfico ya te das cuenta que va de menos 1 y a un valor que ahí sí está un poco complicado, ¿no? ¿Cuánto es? ¿No? Entonces, ¿en qué valor va a ser? Bueno, como está en la mitad, supuestamente sería creo que un medio. Pero si no estuviésemos seguros, ¿qué cosa es lo que tenemos que hacer? Igualar.

1:13:25

S… Speaker 1 (semana 6)

Igualo, mira como es cuadrática, se va a formar una ecuación cuadrática, 2y al cuadrado, menos y, el 4 pasa a restar, menos 3, ahí está, listo. 2y menos 3 por y más 1, haciendo el aspa simple, igual a 0. Y y vale 3 medios, y y vale menos 1. Entonces ya hemos confirmado los límites de integración. Luego de ello, entonces vamos a plantear nuestra integral.

1:13:54

S… Speaker 1 (semana 6)

Teniendo en cuenta que el que está a la derecha, esta es mi curva que está afuera, y el de acá adentro es la curva que está en la parte interna. Si es alrededor del eje Y, es alrededor de este eje que estoy pintando, o sea, va a girar así. Va a haber un radio que está afuera, y va a haber un radio que está adentro. Eso es lo que tú tienes que identificar.

1:14:20

S… Speaker 1 (semana 6)

Entonces, ¿qué va a ser igual? De menos uno a tres medio, el que está afuera es el de color rojo. ¿Quién es el de color rojo? El que está acá. Menos y al cuadrado más y más cuatro al cuadrado, menos. El que está adentro es el de color azul, que es el y al cuadrado más uno al cuadrado. Y tenemos que resolver, ¿no? Acá, ¿cómo puedes desarrollar? Elevando al cuadrado, ¿correcto? Elevando al cuadrado.

1:14:46

S… Speaker 1 (semana 6)

O para que de repente no eleve mucho el cuadrado, haces una diferencia de cuadrados y con los resultados haces propiedad distributiva. Entonces, dos estrategias y ya decide tú cómo lo quieres trabajar. En ambas te va a salir...

1:15:00

S… Speaker 3 (semana 6)

Lo mismo, pero quizás haciendo diferencia de cuadrados va a ser un poco más práctico porque se van a simplificar los días al cuadrado y se va a reducir. ¿Ok? ¿Sí? ¿Está bien? ¿Está bien, Javier? ¿Está bien, Cristian? Sí, profesor. Ya, bacán. Muy bien. Continuamos. Luego de ello, lo que vamos a hacer es lo siguiente. Vamos a hacer también, mira, eje de rotación, pero ahora ya no es el eje X o el eje Y.

1:15:38

S… Speaker 2 (semana 6)

sino paralelos a los ejes. También puede haber... ¿Ok? La idea va a ser muy similar. Dice, y igual a f de x, y igual a g de x, funciones continuas en el intervalo cerrado a b, r es una región limitada por la gráfica de las funciones, en este caso, y igual a f de x, y g de x, y el eje x.

1:16:04

S… Speaker 2 (semana 6)

y las rectas verticales, x igual a a, x igual a b, y el volumen del sólido de revolución se genera al hacer girar la región alrededor de una recta c. ¿Ya? No es necesariamente el eje y, sino es otro eje. Entonces la formulita es pi la integral de a a b de f de x pero menos c. ¿Ok? Este sería para el radio externo.

1:16:35

S… Speaker 2 (semana 6)

menos g de x menos c. Este sería para el radio interno, haciendo la parte de aralela. Y análogamente, si es que yo quiero hacerlo girar alrededor, no de un eje paralelo al eje y, porque acá era, ah no, y igual a c, paralelo al eje x, sino que sea paralelo.

1:17:03

S… Speaker 2 (semana 6)

ahí está, paralelo al eje Y, entonces puedo emplearlo de acá, ¿no? De pi de Y de C a D, de F de Y menos K, o sea ese eje de rotación, al cuadrado menos G de Y menos K al cuadrado de ese eje de rotación. ¿Ok? Eso es lo que nosotros haríamos ahí.

1:17:29

S… Speaker 3 (semana 6)

Ejemplo 7 me dice encontrar el volumen del sólido generado cuando la región limitada por las gráficas y el cuadrado igual a 8x y x igual a 2 gira alrededor de x igual a 2. Eso es lo que nosotros vamos a tener en cuenta. ¿Correcto? A ver, intentamos graficar. Entonces me dan la función. ¿Dónde está mi...? Acá está.

1:18:10

S… Speaker 1 (semana 6)

me dan la función del cuadrado 8x, y x igual a 2 alrededor de x igual a 2. Si yo digo x igual a 2, este es un eje, esto es, voy a ponerle así ya, este es paralelo, paralelo al eje y. Es paralelo al eje y. Quedaría así, gráfico. Acá está.

1:18:43

S… Speaker 1 (semana 6)

Y al cuadrado es igual a 8X. Alrededor de X igual a 2 es esta recta que está acá. X igual a 2. Y este es lo que yo tengo. Pero ahora, ojo, yo voy a girar alrededor de él. Ya no alrededor del eje Y. Pero es paralelo al eje Y. Entonces, primero hay los límites de integración, aunque acá ya aparecen, pero imagínate que no lo tengamos.

1:19:13

S… Speaker 1 (semana 6)

Tengo x igual a y al cuadrado sobre 8 y x es igual a 2. Esto ya lo habíamos utilizado hace un momento. Habíamos dicho que el 8 pasa a dividir. Después lo habíamos igualado y habíamos obtenido y menos 4 y y igual a 4. ¿Recuerdas o no? Lo mismo. Ya, lo mismo. Luego, habíamos dicho de que esto va a girar alrededor de este eje vertical.

1:19:40

S… Speaker 4 (semana 6)

Entonces yo voy a hallar el radio. El radio lo habíamos hallado también hace un rato. En este caso era 2 menos X. ¿Por qué, profe? Mira, en el otro era X menos 0. Pero acá, ¿por qué es 2 menos X? Porque está girando en torno a él.

1:20:00

S… Speaker 1 (semana 6)

Mira, todo esto es 2. ¿Y por qué menos X? Porque X es esta parte que llega acá. Porque en realidad el radio que tú vas a querer es el que está pegado acá. Lo voy a poner de otro color ya. En realidad el radio que tú vas a querer es este radio que está acá, que acabo de pintar de azul. Entonces este radio de color azul aquí va a ser igual a 2 y esta longitud es X. Entonces por eso acá es 2 menos X.

1:20:31

S… Speaker 1 (semana 6)

2 menos y al cuadrado sobre 8 porque x es y al cuadrado sobre 8. Acá está. ¿Ok? Entonces mi volumen va a ser pi... ¿Dónde está mi mouse? Acá está. Pi de menos 4 a 4. ¿De quién? De 2 menos x al cuadrado, que es el radio. Pero el x es el y al cuadrado sobre 8 al cuadrado.

1:21:00

S… Speaker 1 (semana 6)

Y para desarrollar esto, desarrollas el binomio y después lo evalúas en cada uno de los límites de integración. ¿Se entendió hasta acá? ¿Sí o no? Confírmame, por favor. Sí, profesor. Ok, muy bien. Pasamos. Siguiente. Este era el caso, ¿te recuerdas o no? Tenemos acá que va de 0, tenemos acá que va hasta el 3, y este sería...

1:21:32

S… Speaker 1 (semana 6)

mi diferencial del volumen. Si yo lo igualo para hallar los límites de integración, aunque no es necesario porque el gráfico lo podemos identificar, armamos una ecuación cuadrática y me sale que es 0 y 3. O sea, estamos validando la información. Paso. Si yo lo hago girar, yo voy a tener este tipo de gráfico. Esto de acá se refleja arriba y ahí se estaría formando la arandela. Te das cuenta del hueco que hay ahí.

1:22:03

S… Speaker 1 (semana 6)

Como es alrededor del Y igual a 4, entonces este es el nuevo eje de rotación. Entonces todo esto es 4. Y tú quieres el radio siempre pegado al eje de rotación, o sea, pegado al eje Y igual a 4. Entonces tengo este primer radio y tengo este segundo radio que es el de color verde.

1:22:30

S… Speaker 1 (semana 6)

Para el primer radio te das cuenta que estás llegando a la función lineal. Entonces, el primer radio, el pequeñito, es 4 menos, en este caso, x. ¿Ok? ¿Sí? 4 menos x. ¿Por qué menos x? Porque esta curva de color rojo es y igual a x. Por eso menos x.

1:22:57

S… Speaker 1 (semana 6)

Y el radio grande va a ser 4 menos la función cuadrática, mira. Y lo hago rotar, ¿ok? Ahí multipliqué el signo nada más. Y empleo. Entonces pi que va de 0 a 3, ¿correcto? Del radio mayor al cuadrado menos el radio menor, diferencial de. Radio mayor es el de color verde que ya lo hemos visto acá. Y el radio menor es 4 menos x al cuadrado.

1:23:27

S… Speaker 1 (semana 6)

Tenemos que desarrollar estrategia, desarrollas o si no, diferencia cuadrado. Ya es decisión de ustedes, pero necesariamente vamos a hacer la parte algebraica. Acá por ejemplo elevamos al cuadrado a ambos lados, que no es tan complicado, tan tedioso. De ahí integramos cada término y evaluamos en los límites de integración y obtenemos el volumen solicitado. ¿Se entendió hasta acá? Sí, no, confírmame por favor.

1:24:00

S… Speaker 2 (semana 6)

Sí, está bien. Sí, profesor. Ya, perfecto. Muy bien. Continuamos entonces. Luego de esto, lo que tenemos es, bueno, el logro, ¿no? Porque ya estamos finalizando nuestra clase. Entonces, ya al finalizar nuestra clase, nosotros hemos resuelto ejercicios donde hemos empleado justamente

1:24:33

S… Speaker 1 (semana 6)

estos métodos para poder determinar los volúmenes de revolución. ¿Ok? Aplicando ¿qué cosa? La integral definida. Ahí tenemos nuestras conclusiones, tanto alrededor del eje X, alrededor del eje Y, tanto para disco como para arandeles. Referencias bibliográficas, cualquier consulta puedes escribir, y ese sería todo por el día de hoy.

1:25:00

S… Speaker 2 (semana 6)

No sé si tienen alguna consulta. No olvides que tenemos nuestra evaluación T1. Todo claro, profesor. La evaluación T1 va a venir a ese sistema, ¿verdad? En la evaluación T1... A ver, espérame. Déjame dejar de compartir. Dame un minutito, por favor. Javier. En la T1. En la T1 normalmente se evalúa la semana anterior. Pero déjame...

1:25:40

S… Speaker 1 (semana 6)

Déjame confirmarlo, no vaya a ser que me esté confundiendo. Normalmente siempre es la semana anterior. A ver... ¿Dónde estoy? ¿Dónde estoy? Acá estoy. Sí, veo. Viene integral definida. Región acotada. Calcular área. Área entre curvas. Viene, en este caso...

1:26:23

S… Speaker 1 (semana 6)

aproximación del área aplicando regla del trapecio, viene integral indefinida también, tasa cambio neto, que ya lo hemos visto, creo, si no me falla la memoria, y método es la regla de Simpson, también que lo hemos trabajado. T2, viene función gagma, función beta, viene integrales impropias, y viene...

1:26:55

S… Speaker 2 (semana 6)

ARIA también. ¿No? Entonces, volumen de esta semana todavía no está viniendo. ¿Ok? ¿Está bien, Javier? Sí, profesor. Perfecto. Listo. Entonces, quedamos acá. ¿Correcto? Nos estamos viendo. Cuídense mucho hasta la siguiente semana. Que les vaya muy bien en su evaluación. Gracias, profesor. Hasta la siguiente semana. Gracias, profesor. Nos vemos. Hasta luego. Cuídate.

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