civ_18

Apr 07, 2026 10:57 · 1:21:29 · Spanish · Whisper Turbo · 4 speakers
ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವಾಯಿದೆಯು ಇಂದಿಗೆ ಮುಗಿದಿದೆ. ಶಾಶ್ವತ ಶೇಖರಣೆಗಾಗಿ ನವೀಕರಿಸಿ →
Lecture Index
ಕೇವಲ ತೋರಿಸುವಿಕೆ
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S… Speaker 1 (civ_18)
comenzamos un nuevo capítulo, el capítulo sobre los límites y la continuidad. Ok, es
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S… Speaker 1 (civ_18)
un nuevo capítulo y voy a introducir un poquito el tema para explicar qué vamos a hacer
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S… Speaker 1 (civ_18)
y por qué hacemos todo esto. De hecho, la palabra central, el concepto central que vamos
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S… Speaker 1 (civ_18)
a estudiar durante las dos semanas que vienen es el tema de la continuidad, es decir, qué
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S… Speaker 1 (civ_18)
significa ser una función continua. Y tendremos exactamente el mismo problema que tuvimos
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S… Speaker 1 (civ_18)
para las áreas, es decir, cuando se trataba de definir área teníamos una noción intuitiva
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S… Speaker 1 (civ_18)
súper clara que se entendía muy bien desde el punto de vista de la intuición, pero hubo
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S… Speaker 1 (civ_18)
que trabajar mucho para obtener una definición. Y acá va a ser peor con la idea de continuidad.
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S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces hay que entender que toda la gente tiene una intuición de la noción de continuidad
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S… Speaker 1 (civ_18)
en general. Y esta intuición surge de la observación empírica que en matemática la mayoría de
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S… Speaker 1 (civ_18)
las funciones que se estudian tienen una gráfica de una sola pieza. Ok. Y que se puede trazar
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S… Speaker 1 (civ_18)
intuitivamente sin levantar la mano. Ok. Entonces es una observación muy obvia, es decir, si yo tomo por
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S… Speaker 1 (civ_18)
ejemplo la función de identidad, acá yo obtengo una recta y la recta es el tipo de función que se puede
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S… Speaker 1 (civ_18)
trazar solo de una sola pieza. Ok. Y lo mismo para todas las funciones que ya vimos. No todas, pero una gran
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S… Speaker 1 (civ_18)
gran mayoría las parábolas. Y de mismo modo para las funciones potencias también yo podría dar la raíz cuadrada o bien el logaritmo.
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S… Speaker 1 (civ_18)
Y también vimos que cuando añadimos funciones juntas en general obtuvimos funciones continuas. Es decir, la gráfica se puede trazar sin levantar la mano.
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S… Speaker 1 (civ_18)
Ok. Ah, pero vimos una excepción. En las funciones usuales hay la función inversa. Es decir, la función 1 sobre x que tiene dos ramas de hipérbolas y acá para pasar de los negativos a los positivos yo necesito, yo tengo que levantar la mano.
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S… Speaker 1 (civ_18)
Ok. Si no, no va a funcionar acá. Es claro que mi función, mi gráfica tiene dos piezas. Pero de hecho esto viene de la definición de 1 sobre x porque la función 1 sobre x, su dominio, su dominio es igual a r menos 0, es decir, un conjunto que ya tiene dos piezas.
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S… Speaker 1 (civ_18)
Ok. Entonces, no viene de la función. Viene del conjunto, del dominio de definición. Es decir, si yo quiero estudiar la función 1 sobre x en un intervalo, se necesita elegir o bien yo trabajo a la izquierda o bien a la derecha.
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S… Speaker 1 (civ_18)
Ok. Y en cada parte, si yo me refrijo a este intervalo, voy a obtener una función continua acá y en el otro intervalo otra función continua.
4:17
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok. Entonces, no hay ningún problema. Y es una observación obvia y, de hecho, era una de las primeras definiciones que fue hecha por Gauss que había observado que si yo hago, yo defino una función así.
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S… Speaker 1 (civ_18)
f de x igual una expresión única que solo usa las funciones de base como la identidad, la raíz cuadrada, el valor absoluto y cosas así.
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S… Speaker 1 (civ_18)
Y usando solo las cuatro operaciones elementales y la composición de funciones, al final se obtiene una función cuya gráfica...
4:59
S… Speaker 1 (civ_18)
Gracias.
4:59
S… Speaker 1 (civ_18)
Gracias.
5:00
S… Speaker 1 (civ_18)
es de una sola pieza, ¿ok?
5:02
S… Speaker 1 (civ_18)
Era la definición de Gauss que consideraba que era una definición para las funciones continuas.
5:08
S… Speaker 1 (civ_18)
Y, por otro lado, vimos que, en general, si yo tengo una definición por casos,
5:18
S… Speaker 1 (civ_18)
no obtengo una función continua, porque yo puedo interrumpir el trazo de mi función.
5:25
S… Speaker 1 (civ_18)
Pero las cosas son más complicadas, porque, por ejemplo, yo podría definir el valor absoluto,
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S… Speaker 1 (civ_18)
por casos, si yo digo, por ejemplo, que el valor absoluto de x es x,
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S… Speaker 1 (civ_18)
si x es positivo, es menos x, si x es negativo, es cero, si x es igual a cero,
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S… Speaker 1 (civ_18)
es una definición por casos.
5:51
S… Speaker 1 (civ_18)
Ah, sí, gracias.
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S… Speaker 1 (civ_18)
Y es claro que es una definición por casos, pero al final voy a obtener una función continua.
6:01
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, si yo dibujo la función de valor absoluto, es algo así.
6:08
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, yo puedo dibujarla con un único trazo.
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S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok? ¿Entienden la idea?
6:14
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, ese problema, todo el problema, viene de que no tenemos,
6:20
S… Speaker 1 (civ_18)
hasta el siglo XVIII, XIX, no teníamos ninguna definición correcta de continuidad.
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S… Speaker 1 (civ_18)
Y todo el problema es, ¿qué significa ser una función continua?
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S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, una función cuya gráfica tiene una sola pieza.
6:37
S… Speaker 1 (civ_18)
Por la intuición, es una cosa súper obvia, pero una única, una sola pieza no tiene sentido,
6:44
S… Speaker 1 (civ_18)
desde el punto de vista de la matemática.
6:46
S… Speaker 1 (civ_18)
Que una gráfica que se puede dibujar sin levantar la mano, disculpa, mi mano no es un objeto matemático,
6:52
S… Speaker 1 (civ_18)
entonces no puede ser involucrado adentro de una definición.
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S… Speaker 1 (civ_18)
Todo el problema viene de esto, es decir, todo lo que vamos a hacer es, al final se puede resumir así,
7:04
S… Speaker 1 (civ_18)
vamos a hallar una definición súper complicada de una cosa súper intuitiva,
7:09
S… Speaker 1 (civ_18)
y después vamos a castigarnos verificando que todo funciona bien.
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S… Speaker 1 (civ_18)
Pero es una cosa necesaria, es decir, el análisis necesitaba muy rápidamente una definición fija de la noción de continuidad.
7:24
S… Speaker 1 (civ_18)
Y la intuición viene de que, si yo niego la propiedad de continuidad,
7:29
S… Speaker 1 (civ_18)
se observa que, por ejemplo, si yo hago una función discontinua, yo necesito hacer algún salto, no sé, acá.
7:39
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, intuitivamente, esa función es discontinua, hay un salto.
7:42
S… Speaker 1 (civ_18)
Y, es decir, que se puede analizar la noción de continuidad solo mirando lo que pasa en un punto,
7:50
S… Speaker 1 (civ_18)
diciendo que no hay ningún salto, y esa intuición del límite.
7:56
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, toda la dificultad, acá yo sé que es un capítulo difícil, el capítulo sobre los límites y la continuidad,
8:03
S… Speaker 1 (civ_18)
y hay una buena razón para ello.
8:05
S… Speaker 1 (civ_18)
La razón es que los matemáticos tuvieron que ensayar algo entre 10 y 15 definiciones distintas de la noción de continuidad
8:16
S… Speaker 1 (civ_18)
antes de achar la buena definición.
8:18
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, empezaron a ver que había un problema al comienzo del siglo XVII,
8:24
S… Speaker 1 (civ_18)
y consiguieron obtener la definición correcta al final del siglo XIX.
8:29
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, es normal que tengan dificultades para entender todos los conceptos que yo voy a explicar ahora,
8:37
S… Speaker 1 (civ_18)
porque hay un montón de reflexión adentro.
8:41
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok.
8:41
S… Speaker 1 (civ_18)
Ahora, todo el problema se reduce a un problema que es el problema del límite.
8:46
S… Speaker 1 (civ_18)
Y la idea del límite viene de la idea muy sencilla, también es una idea intuitiva,
8:52
S… Speaker 1 (civ_18)
es que una función tiene límite a un punto cuando se puede aproximar de modo arbitrario el valor
9:03
S… Speaker 1 (civ_18)
tomando X bastante cercano al punto considerado.
9:09
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, la idea es la siguiente.
9:13
S… Speaker 1 (civ_18)
Si yo quiero aproximar mi punto F de X0 al menos de Epsilon,
9:26
S… Speaker 1 (civ_18)
entonces yo necesito solo mirar lo que pasa alrededor al menos de un delta.
9:32
S… Speaker 1 (civ_18)
Será la idea fundamental que yo voy a explicar después.
9:35
S… Speaker 1 (civ_18)
Es la idea del límite.
9:37
S… Speaker 1 (civ_18)
Y la idea es que, la intuición es que una función tiene límite en un punto
9:45
S… Speaker 1 (civ_18)
cuando con pocos movimientos acá, yo hago pocos movimientos verticales.
9:53
S… Speaker 1 (civ_18)
Esa intuición.
9:55
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok.
9:56
S… Speaker 1 (civ_18)
Ahora hay que dar todas las definiciones y hay un montón de definiciones.
9:59
S… Speaker 1 (civ_18)
Esa intuición.
10:00
S… Speaker 1 (civ_18)
Y todo el trabajo consiste en verificar que las definiciones que yo voy a dar capturan la idea intuitiva de continuidad.
10:08
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, ahora vamos a comenzar con la idea de entorno.
10:20
S… Speaker 1 (civ_18)
Entornos. Ok, definición.
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S… Speaker 1 (civ_18)
Ahora yo me doy un punto, sean x0 un punto de R y epsilon positivo, que será mi radio.
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S… Speaker 1 (civ_18)
Voy a definir dos cosas. El entorno de centro x0 y de radio epsilon es el conjunto, y ahora yo doy la definición,
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S… Speaker 1 (civ_18)
el conjunto que se escribe así, e de x0 y epsilon, es definido como el conjunto de todos los x adentro de R,
11:21
S… Speaker 1 (civ_18)
tal es que la distancia entre x y x0 es menor que epsilon.
11:28
S… Speaker 1 (civ_18)
Son las aproximaciones de x0 a menos de epsilon.
11:32
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, y de hecho tenemos una caracterización muy sencilla, es lo mismo que el intervalo x sub 0 menos epsilon hasta x sub 0 más epsilon.
11:46
S… Speaker 1 (civ_18)
Y acá yo puedo hacer el dibujo, yo pongo mi centro x sub 0 y mi radio epsilon está acá,
11:55
S… Speaker 1 (civ_18)
y yo obtengo este intervalo abierto.
11:59
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, es el entorno de centro x sub 0 y de radio epsilon.
12:05
S… Speaker 1 (civ_18)
Esto sirve para formalizar la noción de proximidad.
12:10
S… Speaker 1 (civ_18)
Es claro que en matemática no tenemos ninguna definición absoluta de proximidad.
12:16
S… Speaker 1 (civ_18)
No se puede decir que dos puntos son cercanos,
12:20
S… Speaker 1 (civ_18)
lo que se puede decir que son cercanos a menos de alguna distancia.
12:24
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, y es la idea.
12:26
S… Speaker 1 (civ_18)
Y de mismo modo, yo voy a definir el entorno reducido de centro x sub 0 y de radio epsilon por,
12:53
S… Speaker 1 (civ_18)
y acá, ah, yo no necesito cambiar, voy a escribir,
12:59
S… Speaker 1 (civ_18)
E sub estrecha de x sub 0 y de radio epsilon por definición será el mismo que el entorno,
13:10
S… Speaker 1 (civ_18)
pero sin el punto x sub 0.
13:19
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, es el conjunto anterior menos el punto x sub 0.
13:23
S… Speaker 1 (civ_18)
Son las aproximaciones estrictas.
13:25
S… Speaker 1 (civ_18)
Y es lo mismo que el conjunto de los x tales que la diferencia en valor absoluto entre x y x sub 0
13:36
S… Speaker 1 (civ_18)
también tiene que ser menor que epsilon, pero también tiene que ser mayor que 0.
13:42
S… Speaker 1 (civ_18)
Y es lo mismo que la unión del intervalo x sub 0 menos epsilon hasta x sub 0,
13:49
S… Speaker 1 (civ_18)
unión x sub 0 más epsilon, los tres conjuntos son iguales.
13:58
S… Speaker 1 (civ_18)
Y la figura, el entorno reducido es x sub 0,
14:04
S… Speaker 1 (civ_18)
acá yo excluyo x sub 0 y hago algo así, epsilon, epsilon.
14:13
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, pero ahora en el entorno reducido x sub 0 es excluido.
14:23
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, esa noción del entorno.
14:28
S… Speaker 1 (civ_18)
Ahora vamos a hacer algunas observaciones y hay una observación muy obvia,
14:35
S… Speaker 1 (civ_18)
que es que la noción del entorno depende de un centro y de un radio.
14:40
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Qué pasa si yo hago, si yo achico el radio?
14:46
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Qué va a pasar sobre los internos?
14:49
S… Speaker 1 (civ_18)
Se van a achicar también como conjuntos.
14:52
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces la observación, si yo tengo 0 menor que epsilon prima,
15:00
S… Speaker 2 (civ_18)
que Epsilon, esto implica que el entorno de centro X sub cero, Epsilon prima, está incluido
15:08
S… Speaker 1 (civ_18)
en el entorno de radio mayor y lo mismo para los entornos reducidos. Ok, esto corresponde
15:26
S… Speaker 2 (civ_18)
a la idea que yo puedo achicar Epsilon y yo obtengo un conjunto más pequeño. Ok, y todos
15:33
S… Speaker 2 (civ_18)
los problemas van a venir de entornos. Vamos a manipular entornos 500 veces por segundo.
15:40
S… Speaker 2 (civ_18)
Ok, ahora yo necesito definir otra noción que es el interior y la clausura de un intervalo.
15:59
S… Speaker 2 (civ_18)
Acá se puede observar que yo voy a hacer un poquito de topología, pero sólo sobre los
16:04
S… Speaker 3 (civ_18)
intervalos y es mucho más fácil. Definición. Definición. Se ha un intervalo I en R. Por
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S… Speaker 3 (civ_18)
definición, el interior de I es el subintervalo que se escribe I con así, con un pequeño círculo
16:52
S… Speaker 3 (civ_18)
intervalo por encima. Es un subintervalo obtenido excluyendo los extremos de I. Es decir, sabemos
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S… Speaker 2 (civ_18)
que a veces los extremos de I pueden pertenecer a I o a veces no pertenecen a I. El interior
17:23
S… Speaker 2 (civ_18)
se construye excluyendo todos los dos extremos. Ok. A veces no cambia nada. Si los extremos
17:33
S… Speaker 2 (civ_18)
no pertenecen a I entonces esto no cambia nada. Y la clausura es la operación opuesta
17:39
S… Speaker 3 (civ_18)
que consiste en añadir los extremos. La clausura de I es el subintervalo que se escribe I barra
18:03
S… Speaker 3 (civ_18)
que contiene I y obtenido incluyendo los extremos finitos. Ok. Esa es la definición del interior
18:25
S… Speaker 2 (civ_18)
y la clausura. Ahora, para completar la definición, vamos a ver, ya sabemos que tenemos diez tipos
18:32
S… Speaker 1 (civ_18)
de intervalos, entonces vamos a estudiar lo que pasa en cada tipo. Voy a hacer una tabla
18:43
S… Speaker 2 (civ_18)
que resume la situación y van a ver que la noción de interior y de clausura de un intervalo
18:51
S… Speaker 1 (civ_18)
es realmente una noción súper obvia. Ok. Voy a tomar el intervalo I, su interior y así,
19:08
S… Speaker 4 (civ_18)
y su clausura. Acá me falta espacio. Ok. Interior, clausura I y acá barra I falta un círculo
19:31
S… Speaker 4 (civ_18)
y el intervalo I y el intervalo I. Ok. Y ahora voy a hacer todos los casos posibles.
19:43
S… Speaker 1 (civ_18)
Primer caso, caso de los intervalos agotados. Es decir, si yo tomo un intervalo de esta forma
19:53
S… Speaker 1 (civ_18)
o bien de esta forma. O bien de esta forma.
19:58
S… Speaker 1 (civ_18)
Pues es si yo tomo un periodo.
19:58
S… Speaker 1 (civ_18)
Bien.
19:59
S… Speaker 1 (civ_18)
Gracias.
20:02
S… Speaker 2 (civ_18)
O bien de esta forma, con A menor que B.
20:10
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
20:11
S… Speaker 2 (civ_18)
¿Cuál será su interior si yo excluyo los extremos?
20:18
S… Speaker 2 (civ_18)
El intervalo abierto AB.
20:20
S… Speaker 2 (civ_18)
Es decir, estos cuatro tipos de intervalo me van a dar el mismo interior.
20:27
S… Speaker 2 (civ_18)
¿Y cuál será su clausura?
20:30
S… Speaker 2 (civ_18)
El intervalo cerrado.
20:32
S… Speaker 2 (civ_18)
Entonces, no hay nada difícil acá.
20:36
S… Speaker 2 (civ_18)
Sur, sí, o sobre intervalo.
20:38
S… Speaker 2 (civ_18)
No sé cuál es el mejor en español.
20:40
S… Speaker 2 (civ_18)
Sur, sobre, no, no es sub, es sur, es el opuesto de sobre, sobre intervalo.
20:54
S… Speaker 2 (civ_18)
Sobre intervalo.
20:57
S… Speaker 2 (civ_18)
Porque contiene el intervalo de partida.
21:01
S… Speaker 2 (civ_18)
Sub está contenido en el intervalo de partida, sobre contiene el intervalo de partida.
21:07
S… Speaker 2 (civ_18)
Pueden ver, acá use esta inclusión y acá la inclusión al revés.
21:13
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
21:14
S… Speaker 2 (civ_18)
Pueden ver que acá, este intervalo está incluido en todos los intervalos acá.
21:19
S… Speaker 2 (civ_18)
Y todos los intervalos acá están incluidos en este intervalo.
21:30
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
21:31
S… Speaker 2 (civ_18)
Después hay que ver los casos menos infinito.
21:35
S… Speaker 2 (civ_18)
Hay dos tipos.
21:42
S… Speaker 2 (civ_18)
Y acá, el interior, no hay que decir muchas cosas.
21:47
S… Speaker 2 (civ_18)
Hay que excluir el extremo.
21:49
S… Speaker 2 (civ_18)
Y la clausura será que menos infinito hasta A.
21:58
S… Speaker 2 (civ_18)
¿Y qué pongo yo en menos infinito?
22:01
S… Speaker 2 (civ_18)
Abierto.
22:02
S… Speaker 2 (civ_18)
Abierto, porque se excluyen siempre los menos infinitos.
22:05
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
22:07
S… Speaker 2 (civ_18)
Y cosa simétrica para la derecha.
22:29
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
22:30
S… Speaker 2 (civ_18)
Ya tenemos un montón de tipos de intervalos.
22:33
S… Speaker 2 (civ_18)
Y nos quedan dos casos.
22:35
S… Speaker 2 (civ_18)
Veamos el caso de menos infinito hasta menos infinito, que también se llama R.
22:43
S… Speaker 2 (civ_18)
Acá su interior y su clausura no van a cambiar.
22:52
S… Speaker 2 (civ_18)
Después hay un caso que no consideramos acá.
22:55
S… Speaker 2 (civ_18)
Es el caso donde A es igual a B para un intervalo de esta forma.
22:59
S… Speaker 2 (civ_18)
Que es el conjunto unitario, que solo contiene un elemento.
23:03
S… Speaker 2 (civ_18)
También sabemos que es un intervalo.
23:05
S… Speaker 2 (civ_18)
Entonces, este intervalo, ¿cómo?
23:13
S… Speaker 2 (civ_18)
Me equivoqué, así.
23:16
S… Speaker 2 (civ_18)
Acá, esta cosa que es igual al mismo que el intervalo cerrado AA.
23:22
S… Speaker 2 (civ_18)
Acá, porque pusimos A menor que B.
23:25
S… Speaker 2 (civ_18)
Pero en el caso donde A es igual a B, este intervalo todavía tiene sentido.
23:31
S… Speaker 2 (civ_18)
Solo tiene un punto.
23:32
S… Speaker 2 (civ_18)
¿Cuál será su interior?
23:34
S… Speaker 2 (civ_18)
El vacío.
23:37
S… Speaker 2 (civ_18)
Y su clausura, A, el mismo conjunto.
23:40
S… Speaker 2 (civ_18)
Y al final, el último tipo de intervalo es el vacío.
23:50
S… Speaker 2 (civ_18)
Y esto no va a cambiar nada.
23:53
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok.
23:58
S… Speaker 2 (civ_18)
Perfecto.
23:59
S… Speaker 2 (civ_18)
Ahora tenemos la definición del interior y la clausura para todos los tipos de intervalos.
24:04
S… Speaker 2 (civ_18)
Y observación muy importante es que en todos los casos tenemos la doble inclusión.
24:10
S… Speaker 2 (civ_18)
El interior está incluido en el intervalo y el intervalo está incluido en su clausura.
24:18
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok.
24:19
S… Speaker 2 (civ_18)
Y es la única noción, las únicas nociones de topología que yo voy a usar.
24:40
S… Speaker 2 (civ_18)
Ahora, con estas notaciones, yo puedo introducir un poquito de terminología.
24:50
S… Speaker 2 (civ_18)
Voy a introducir la noción de punto interior y de punto adherente.
24:56
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok.
24:56
S… Speaker 2 (civ_18)
Vocabulario.
24:59
S… Speaker 1 (civ_18)
Adiós.
24:59
S… Speaker 1 (civ_18)
Adiós.
25:00
S… Speaker 1 (civ_18)
Adherente, yo voy a escribir, adherente, vocabulario, no, es cosa distinta, acá en el marco de este curso no vamos a usar puntos de acumulación, vamos a usar puntos adherentes, es una noción más fácil y esto viene con el cambio de programa, reemplazamos algunas nociones por otras.
25:29
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, vocabulario, digo que X, un punto X es interior a Y si X pertenece al interior, ok, en particular en los puntos del intervalo AB, los puntos interiores son todos los puntos de AB salvo los extremos, están en el interior.
26:06
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, un punto interior es un punto del intervalo que no es un extremo y de mismo modo X es un punto adherente, es adherente a, punto interior de, de hecho es punto interior de Y y punto adherente a Y si el punto pertenece a la clausura.
26:40
S… Speaker 1 (civ_18)
Esa idea, por ejemplo, hay que ver los dos ejemplos típicos, yo puedo decir, por ejemplo, que X es interior, es un punto interior de AB, si solo si, por definición X pertenece a intervalo abierto.
27:15
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, pero los puntos adherente, entonces, hay menos puntos interiores que los puntos del intervalo en general.
27:23
S… Speaker 1 (civ_18)
La noción de punto interior, se pierden puntos, se pierden los dos extremos.
27:29
S… Speaker 1 (civ_18)
Y punto adherente es la cosa opuesta, se añaden puntos y esa intuición es que todos, por ejemplo,
27:36
S… Speaker 1 (civ_18)
si yo tomo este intervalo, todos los elementos de este intervalo son adherentes al intervalo, pero también hay dos puntos más que son adherentes, son A y B, porque están pegados, adherente.
27:51
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, ¿entienden la idea?
27:54
S… Speaker 1 (civ_18)
Un punto adherente a un intervalo es o bien un punto del intervalo o bien un extremo, que quizás no pertenece al intervalo,
28:04
S… Speaker 1 (civ_18)
pero todavía es un punto adherente, es la terminología y vamos siempre a usar esta terminología.
28:13
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, acá hay un defecto en mi definición que puede parecer super ad hoc, es decir, una definición que es una definición por casos.
28:29
S… Speaker 1 (civ_18)
Ahora yo voy a dar una caracterización que pueden hacer como ejercicio para verificar que hay una cosa uniforme
28:37
S… Speaker 1 (civ_18)
que no depende de la forma del intervalo.
28:41
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, proposición.
28:45
S… Speaker 1 (civ_18)
Es un ejercicio en los apuntes que van a obtener, yo espero, pronto.
28:52
S… Speaker 2 (civ_18)
Proposición para todo.
28:55
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, dados un intervalo y, si yo me doy un intervalo y,
29:08
S… Speaker 1 (civ_18)
y un punto x sub 0 en R,
29:13
S… Speaker 1 (civ_18)
yo voy a decir x,
29:14
S… Speaker 1 (civ_18)
tenemos dos cosas,
29:17
S… Speaker 1 (civ_18)
yo puedo decir que x es un punto interior de y,
29:24
S… Speaker 1 (civ_18)
es decir, x pertenece al interior de y,
29:27
S… Speaker 1 (civ_18)
si solo si existe un entorno de seguridad
29:33
S… Speaker 1 (civ_18)
que da un poquito de distancia entre x y el resto del intervalo.
29:44
S… Speaker 1 (civ_18)
Existe un radio tal que el entorno de centro x y de radio epsilon está incluido en el intervalo y.
29:55
S… Speaker 2 (civ_18)
¿Pueden entender la idea?
29:57
S… Speaker 1 (civ_18)
Acá es una cosa super importante.
29:59
S… Speaker 1 (civ_18)
por todo lo que me prebamos,
29:59
S… Speaker 1 (civ_18)
por todo lo que apete.
30:00
S… Speaker 1 (civ_18)
Por ejemplo, si yo tengo un intervalo cerrado de esta forma,
30:08
S… Speaker 1 (civ_18)
si yo tengo un punto interior, por ejemplo, este punto,
30:14
S… Speaker 1 (civ_18)
siempre existe un épsilon que me asegura que todo el intervalo de centro X y de radio épsilon
30:22
S… Speaker 1 (civ_18)
está dentro del intervalo Y, ¿ok?
30:26
S… Speaker 1 (civ_18)
Y esto caracteriza los puntos interiores.
30:29
S… Speaker 1 (civ_18)
Pero, por otro lado, si mi punto X está acá, yo no tengo más esta propiedad.
30:38
S… Speaker 1 (civ_18)
No existe ningún épsilon porque siempre habrá una cosa que va a superar por la derecha.
30:46
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
30:47
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, de hecho, la definición real del interior es la siguiente.
30:53
S… Speaker 1 (civ_18)
Y esta no depende de la forma del intervalo.
30:56
S… Speaker 1 (civ_18)
Y esta propiedad se cumple para todas las formas del intervalo.
31:00
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
31:01
S… Speaker 1 (civ_18)
Y tenemos también la definición de clausura.
31:04
S… Speaker 1 (civ_18)
Ahora, un punto X es adherente a Y.
31:11
S… Speaker 1 (civ_18)
Acá es X es adherente a Y.
31:14
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, X pertenece a la clausura de Y.
31:18
S… Speaker 1 (civ_18)
Sí, sólo sí.
31:19
S… Speaker 1 (civ_18)
Ahora, para todo épsilon positivo,
31:23
S… Speaker 1 (civ_18)
el entorno de centro X y de radio épsilon encuentra Y.
31:29
S… Speaker 1 (civ_18)
Intersecta Y.
31:35
S… Speaker 1 (civ_18)
Ahora, vamos a ver lo que digo.
31:42
S… Speaker 1 (civ_18)
Ahora, para entender lo que digo acá,
31:44
S… Speaker 1 (civ_18)
hay que distinguir dos casos.
31:47
S… Speaker 1 (civ_18)
Es claro que si X está adentro de Y, es un punto adherente.
31:53
S… Speaker 1 (civ_18)
Y si X está adentro de Y,
31:56
S… Speaker 1 (civ_18)
X está adentro de cualquier intervalo de esta forma.
31:59
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
32:00
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, por supuesto que intersecta Y.
32:02
S… Speaker 1 (civ_18)
Al menos en el punto X sí mismo.
32:05
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, esta equivalencia es,
32:08
S… Speaker 1 (civ_18)
no hay nada que mostrar cuando X ya pertenece a Y.
32:12
S… Speaker 1 (civ_18)
Porque si X pertenece a Y,
32:14
S… Speaker 1 (civ_18)
esta cosa es obvia y esta cosa también.
32:18
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, el único caso interesante es,
32:21
S… Speaker 1 (civ_18)
¿qué pasa cuando X no está adentro de Y?
32:25
S… Speaker 1 (civ_18)
Y vamos a ver que hay dos situaciones posibles.
32:31
S… Speaker 1 (civ_18)
O bien, X está un poquito lejos de Y.
32:36
S… Speaker 1 (civ_18)
Y en este caso, yo podré poner un pequeño entorno
32:40
S… Speaker 1 (civ_18)
que no intersecta Y.
32:43
S… Speaker 1 (civ_18)
Y entonces, este entorno me muestra
32:46
S… Speaker 1 (civ_18)
que no es un punto adherente,
32:48
S… Speaker 1 (civ_18)
porque podemos separar un poquito X de Y.
32:52
S… Speaker 1 (civ_18)
Y el caso interesante es,
32:53
S… Speaker 1 (civ_18)
cuando X es uno de los extremos de Y.
32:56
S… Speaker 1 (civ_18)
Y ahora, para cualquier distancia de seguridad Epsilon,
33:02
S… Speaker 1 (civ_18)
este intervalo va a intersectar el intervalo Y.
33:07
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Claro?
33:09
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, es una equivalencia lógica también acá.
33:13
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, si no les gusta esta definición por casos,
33:17
S… Speaker 1 (civ_18)
pueden tomar también esta cosa como una definición.
33:21
S… Speaker 1 (civ_18)
Y funciona súper bien.
33:23
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Sí?
33:33
S… Speaker 1 (civ_18)
Acá, X es un real.
33:36
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, puede ser cualquier número real.
33:38
S… Speaker 1 (civ_18)
Es una caracterización...
33:41
S… Speaker 1 (civ_18)
Acá, la idea es que, por ejemplo,
33:43
S… Speaker 1 (civ_18)
en los puntos adherentes,
33:45
S… Speaker 1 (civ_18)
hay puntos que pueden no pertenecer ahí,
33:49
S… Speaker 1 (civ_18)
porque los puntos adherentes
33:51
S… Speaker 1 (civ_18)
me añaden a los dos extremos que faltan.
33:55
S… Speaker 1 (civ_18)
El problema es que la terminología de extremo
33:57
S… Speaker 1 (civ_18)
depende de la forma del intervalo.
33:59
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, es la razón por la que yo pongo esta propiedad,
34:03
S… Speaker 1 (civ_18)
que me da una definición más uniforme
34:05
S… Speaker 1 (civ_18)
y que no depende de la forma del intervalo.
34:10
S… Speaker 1 (civ_18)
Y esta intuición.
34:11
S… Speaker 1 (civ_18)
La intuición es que un punto interior
34:13
S… Speaker 1 (civ_18)
es un punto que no solo está dentro del intervalo,
34:17
S… Speaker 1 (civ_18)
pero que tiene un poquito,
34:19
S… Speaker 1 (civ_18)
un pequeño entorno alrededor
34:21
S… Speaker 1 (civ_18)
que también está en el intervalo.
34:24
S… Speaker 1 (civ_18)
Y un punto adherente es
34:26
S… Speaker 1 (civ_18)
para cualquier distancia de seguridad
34:29
S… Speaker 1 (civ_18)
yo estoy tocando al intervalo.
34:32
S… Speaker 1 (civ_18)
Estoy pegando al intervalo.
34:35
S… Speaker 1 (civ_18)
Esa intuición.
34:39
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok.
34:40
S… Speaker 1 (civ_18)
Ahora tenemos el vocabulario principal.
34:42
S… Speaker 1 (civ_18)
Es muy importante que repasen esas cosas,
34:45
S… Speaker 1 (civ_18)
que entiendan que son cosas súper intuitivas.
34:48
S… Speaker 1 (civ_18)
No hay nada difícil acá.
34:50
S… Speaker 1 (civ_18)
Solo hay que hacer el vínculo
34:52
S… Speaker 1 (civ_18)
entre la intuición de lo que es el interior,
34:55
S… Speaker 1 (civ_18)
es decir, yo excluyo los extremos,
34:57
S… Speaker 1 (civ_18)
y la clausura yo incluyo los extremos.
35:00
S… Speaker 1 (civ_18)
y esta caracterización en términos de espacio de seguridad.
35:09
S… Speaker 1 (civ_18)
Ahora, tenemos todo el material necesario, pero yo voy a hacer una convención.
35:16
S… Speaker 1 (civ_18)
Convención es para descansar el profesor.
35:23
S… Speaker 1 (civ_18)
Convención, convención en todo lo que sigue, todo este capítulo y después en todos los capítulos que van a venir,
35:38
S… Speaker 1 (civ_18)
casi hasta el fin de su vida.
35:40
S… Speaker 1 (civ_18)
Convención, en todo lo que sigue, o en lo que sigue, pero, es decir, hasta el fin de cálculo 1, 2, 3, 4, 42, 10.000.
35:56
S… Speaker 1 (civ_18)
Así es, una convención que va a durar mucho tiempo.
36:00
S… Speaker 1 (civ_18)
Solo consideraremos funciones definidas en intervalos cuyo interior no es vacío.
36:26
S… Speaker 1 (civ_18)
Intervalos y, yo voy a escribir y, no es vacío.
36:37
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, voy a suponer que el interior de y nunca es vacío.
36:43
S… Speaker 1 (civ_18)
Y esta convención, cada vez que voy a escribir,
36:46
S… Speaker 1 (civ_18)
sea f una función definida en un intervalo y,
36:51
S… Speaker 1 (civ_18)
habrá que añadir cuyo interior no es vacío.
36:54
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, en esta tabla, ¿qué me queda si yo excluyo cuáles son las cosas con interior vacío?
37:04
S… Speaker 1 (civ_18)
Solo las últimas dos.
37:07
S… Speaker 1 (civ_18)
Esto me va a excluir el intervalo vacío.
37:11
S… Speaker 1 (civ_18)
Es normal porque las funciones que tienen un dominio vacío no son súper interesantes para estudiar,
37:17
S… Speaker 1 (civ_18)
porque no tienen gráfica.
37:20
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, terminamos.
37:21
S… Speaker 1 (civ_18)
Nunca vamos a conservar tales funciones.
37:25
S… Speaker 1 (civ_18)
Y también esto me elimina las funciones que solo tienen un punto.
37:30
S… Speaker 1 (civ_18)
Y todo el resto cumple la condición.
37:33
S… Speaker 1 (civ_18)
El interior no es vacío.
37:36
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, es decir, a partir de ahora,
37:38
S… Speaker 1 (civ_18)
cada vez que yo voy a hablar de un intervalo para definir una función,
37:42
S… Speaker 1 (civ_18)
habrá que añadir con interior no vacío y esto me va a descansar la mano.
37:48
S… Speaker 1 (civ_18)
Y pueden tomar esto como una convención.
37:51
S… Speaker 1 (civ_18)
Y de hecho, ya adoptaron la convención,
37:54
S… Speaker 1 (civ_18)
porque ¿cuál es la última vez que definimos una función solo sobre un punto?
38:01
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, el análisis no sirve para nada.
38:05
S… Speaker 1 (civ_18)
A veces, para algunas cosas puede servir,
38:08
S… Speaker 1 (civ_18)
pero el análisis no sirve para nada.
38:10
S… Speaker 1 (civ_18)
Nunca vamos a definir una función sobre un único punto.
38:14
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, tenemos esto.
38:17
S… Speaker 1 (civ_18)
Tenemos la convención y ahora vamos a ver que hay una consecuencia súper importante,
38:24
S… Speaker 1 (civ_18)
que es la siguiente.
38:27
S… Speaker 1 (civ_18)
Proposición, propiedades de los intervalos con interior no vacío.
38:32
S… Speaker 1 (civ_18)
Propiedad, que voy a usar siempre.
38:36
S… Speaker 1 (civ_18)
Si I es un intervalo con interior vacío,
38:49
S… Speaker 1 (civ_18)
tal que el interior no es vacío,
38:56
S… Speaker 1 (civ_18)
entonces, para todo punto X sub cero en la clausura de I,
39:08
S… Speaker 1 (civ_18)
si yo me doy un punto que puede ser adentro de I o bien uno de sus extremos,
39:14
S… Speaker 1 (civ_18)
es lo que escribo acá.
39:15
S… Speaker 1 (civ_18)
X sub cero es o bien un punto de I o bien uno de los extremos.
39:19
S… Speaker 1 (civ_18)
Si yo me doy un épsilon cualquiera,
39:25
S… Speaker 1 (civ_18)
entonces, el entorno reducido de centro X sub cero y de radio épsilon siempre corta I.
39:38
S… Speaker 1 (civ_18)
Cuidado, en la caracterización anterior,
39:41
S… Speaker 1 (civ_18)
solo consideraba los entornos no reducidos.
39:45
S… Speaker 1 (civ_18)
Acá digo algo más fuerte.
39:47
S… Speaker 1 (civ_18)
No solo hay una intersección,
39:50
S… Speaker 1 (civ_18)
pero existe un punto distinto de X en la intersección,
39:55
S… Speaker 1 (civ_18)
de X sub cero.
39:58
S… Speaker 1 (civ_18)
Y no voy a demostrar.
40:00
S… Speaker 1 (civ_18)
Otra de esta propiedad es un ejercicio, todas estas propiedades son ejercicios, hay que distinguir los casos, hay todos los casos que hay que distinguir y no hay nada difícil, solo es una verificación, que las cosas funcionan bien y acá es claro que esta propiedad no funciona para todos los intervalos.
40:21
S… Speaker 1 (civ_18)
Es claro que por ejemplo si I es vacío no va a funcionar y si I solo tiene un punto, ¿qué va a pasar? X0 será necesariamente igual a este punto, será A, porque es el único punto adherente y acá como excluí el centro, esta intersección será vacía, entonces esta propiedad no funciona para un intervalo que solo contiene un punto,
40:50
S… Speaker 1 (civ_18)
pero cuando el intervalo tiene un interior no vacío, esta propiedad funciona y vamos a usar siempre esta propiedad, en general sin decirlo, las primeras veces voy a decir, ah, estoy usando la propiedad de intersección y después voy a olvidar, ok, acá estamos estudiando la estructura fina de los intervalos de R y de los reales porque son propiedades que siempre vamos a usar, ok,
41:21
S… Speaker 2 (civ_18)
ok, ahora yo puedo introducir la noción de límite, definición de límite, acá olvidé hacer figuras o no hice todas las figuras posibles en la recta, por favor, cuando repasan el curso hay que dibujar las figuras para verificar que todo esto tiene un contenido geométrico muy sencillo en la recta, ok, vamos a definir los límites, límites, ok, definición,
42:14
S… Speaker 1 (civ_18)
sean, sean, me doy una función de i en r, cuando yo voy a escribir i siempre será un intervalo, un intervalo con interior no vacío, es implícito ahora, a partir de ahora, cada vez que yo escribo esto,
42:33
S… Speaker 1 (civ_18)
significa, sea f una función definida en un intervalo con interior no vacío, gracias a mi convención anterior, ahora es la cosa que voy a escribir siempre, esto me va a evitar escribirlo siempre porque es muy aburrido, ok, sean f una función definida en i y con valores reales,
42:56
S… Speaker 1 (civ_18)
yo me doy un punto adherente, es decir, un punto que es o bien un punto de i o bien un extremo de i, ok, y un número l cualquiera, entonces voy a escribir esto, ok, entonces tengo tres ingredientes, una función, un punto adherente y un límite, que es un número cualquiera,
43:31
S… Speaker 2 (civ_18)
se dice, se dice que, acá hay dos terminologías, que, o bien se dice que f de x tiende, oh no, yo voy a escribir las cosas de modo distinto, se escribe, hay dos notaciones posibles, que son equivalentes,
44:04
S… Speaker 2 (civ_18)
o bien yo digo que f de x tiende a l cuando x tiende a x sub 0, o bien, cosa sinónima, el límite cuando x tiende a x sub 0,
44:36
S… Speaker 2 (civ_18)
de f de x es igual a l, y acá se dice, f tiene límite l en el punto x sub 0, acá hay que recordar que el punto x sub 0, quizás que pertenece a i, pero también quizás que,
45:00
S… Speaker 1 (civ_18)
Es un extremo de Y que no pertenece a Y.
45:03
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, entonces podemos tomar un poquito más puntos que los puntos de Y.
45:09
S… Speaker 1 (civ_18)
Escribe, y ahora hay que dar la definición, cuando, y ahora disculpa, voy a escribir una fórmula horrible,
45:31
S… Speaker 1 (civ_18)
y después voy a decodificarla, cuando, y esto merece un cambio de marcador,
45:41
S… Speaker 1 (civ_18)
para todo Epsilon positivo, existe un Delta positivo, tal que para todo X en Y,
45:54
S… Speaker 1 (civ_18)
si 0 es menor que la distancia entre X y X0 es menor que Delta,
46:02
S… Speaker 1 (civ_18)
esto implica que la distancia entre F de X y L es menor que Epsilon.
46:09
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, y ahora, normalmente, para los nuevos que cursan por primera vez,
46:15
S… Speaker 1 (civ_18)
es una definición horrible, es una definición para hacer miedo al Shetty.
46:22
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, pero como somos mejores que los Shetty's, vamos a aprender a usar tal definición.
46:35
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, ahora hay que explicar lo que significa esta definición.
46:42
S… Speaker 1 (civ_18)
Y ahora pueden entender por qué los matemáticos necesitaron casi dos siglos para llegar a esta definición.
46:49
S… Speaker 1 (civ_18)
No era una definición obvia.
46:53
S… Speaker 1 (civ_18)
Ahora vamos a explicar lo que pasa.
46:57
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, la primera cosa es que hay un montón de métodos para escribir la misma definición con otras notaciones.
47:05
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, la primera observación es que con los entornos,
47:15
S… Speaker 1 (civ_18)
la definición se escribe, se escribe así, se dice,
47:24
S… Speaker 1 (civ_18)
para todo, toda precisión, existe un radio de seguridad Delta, tal que acá esto me habla de los puntos en un entorno reducido de radio Delta.
47:40
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, para todo X en el entorno reducido de centro X0 y de radio Delta.
47:51
S… Speaker 1 (civ_18)
Acá hay que restringirnos a los puntos de Y.
47:55
S… Speaker 1 (civ_18)
Voy a tomar la intersección.
47:57
S… Speaker 1 (civ_18)
Si yo tengo todo esto, entonces la imagen de X está adentro del entorno no reducido de centro L y de radio Delta,
48:10
S… Speaker 1 (civ_18)
o Epsilon.
48:14
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, sí.
48:24
S… Speaker 1 (civ_18)
Acá reducido es porque el 0 menor que.
48:28
S… Speaker 1 (civ_18)
Esto me prohíbe el valor 0.
48:30
S… Speaker 1 (civ_18)
Hay dos desigualdades.
48:32
S… Speaker 1 (civ_18)
La primera, la desigualdad por la derecha te da el entorno y la desigualdad por la izquierda te dice,
48:40
S… Speaker 1 (civ_18)
ah, pero X menos X0 no puede ser igual a 0.
48:43
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, X es distinto de X0.
48:47
S… Speaker 1 (civ_18)
Esta cosa, esa desigualdad, solo significa, no tiene otro sentido que decir que X es distinto de X0.
48:57
S… Speaker 2 (civ_18)
No significa más.
48:59
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, ¿entienden?
49:02
S… Speaker 1 (civ_18)
Acá hay que acostumbrarse a estas cosas.
49:08
S… Speaker 1 (civ_18)
Esta cosa solo significa que acá, es decir, considero todos los puntos en el entorno de centro X0 y de radio Delta,
49:18
S… Speaker 1 (civ_18)
salvo X0.
49:21
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, esto me prohíbe X0.
49:27
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, también se puede caracterizar de modo siguiente,
49:33
S… Speaker 1 (civ_18)
forma más compacta para toda precisión,
49:40
S… Speaker 1 (civ_18)
existe una radio de seguridad tal que la imagen de este conjunto,
49:56
S… Speaker 1 (civ_18)
es decir, es la imagen del entorno reducido,
49:59
S… Speaker 1 (civ_18)
Y luego, es decir, es decir, es que es la imagen del entorno de la imagen del entorno.
49:59
S… Speaker 1 (civ_18)
¡Gracias!
50:00
S… Speaker 1 (civ_18)
Intersectado con el dominio de definición.
50:03
S… Speaker 1 (civ_18)
Es muy importante intersectar porque la función solo está definida en I.
50:08
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces hay que hacer la intersección para estar seguro que esta cosa está bien definida.
50:15
S… Speaker 1 (civ_18)
Esta cosa tiene que estar incluida en este entorno.
50:23
S… Speaker 1 (civ_18)
Todas estas cosas son equivalentes.
50:27
S… Speaker 1 (civ_18)
Son distintos métodos para escribir el mismo concepto.
50:31
S… Speaker 1 (civ_18)
El primer método es este, que es el método de nivel más bajo.
50:40
S… Speaker 1 (civ_18)
Y ahora yo puedo escribir con nivel un poquito más alto.
50:44
S… Speaker 1 (civ_18)
Acá es lo mismo escribir esto y también es lo mismo escribir esto.
51:00
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces la definición expresa que f de x es arbitrariamente cercano.
51:23
S… Speaker 1 (civ_18)
A L en cuanto x sub 0 sea suficientemente cercano a x sub 0.
51:43
S… Speaker 1 (civ_18)
Esa intuición.
51:46
S… Speaker 1 (civ_18)
Ahora voy a decodificar.
51:48
S… Speaker 1 (civ_18)
Para toda precisión yo me doy f de x es arbitrariamente cercano.
51:59
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, yo me doy una precisión cualquiera para f, para f de x.
52:06
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
52:08
S… Speaker 1 (civ_18)
Dado esta precisión cualquiera para x.
52:11
S… Speaker 1 (civ_18)
Esta precisión que yo quiero obtener en la imagen.
52:15
S… Speaker 1 (civ_18)
Después de haber aplicado f.
52:21
S… Speaker 1 (civ_18)
Existe un radio de seguridad en el dominio.
52:25
S… Speaker 1 (civ_18)
Esta cosa habla del codominio.
52:28
S… Speaker 1 (civ_18)
De lo que pasa después de haber aplicado f.
52:31
S… Speaker 1 (civ_18)
Esta cosa habla del dominio.
52:35
S… Speaker 1 (civ_18)
Para toda precisión.
52:44
S… Speaker 1 (civ_18)
Existe un radio de seguridad.
52:45
S… Speaker 1 (civ_18)
Que es bastante pequeño.
52:54
S… Speaker 1 (civ_18)
Suficientemente pequeño.
52:56
S… Speaker 1 (civ_18)
Tal que en este radio de seguridad.
53:00
S… Speaker 1 (civ_18)
Si yo aplico la función f.
53:03
S… Speaker 1 (civ_18)
No voy a ir afuera de la precisión.
53:10
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Sí?
53:10
S… Speaker 2 (civ_18)
Ah, me, me, me, me.
53:21
S… Speaker 1 (civ_18)
No, no.
53:21
S… Speaker 1 (civ_18)
A x sub 0.
53:26
S… Speaker 1 (civ_18)
¿X sub 0 dónde me equivoqué?
53:28
S… Speaker 2 (civ_18)
No veo.
53:37
S… Speaker 1 (civ_18)
Idea.
53:38
S… Speaker 1 (civ_18)
La definición expresa que f de x es arbitrariamente cercano a L.
53:44
S… Speaker 1 (civ_18)
En cuanto x.
53:46
S… Speaker 1 (civ_18)
Ah, disculpa, gracias.
53:48
S… Speaker 1 (civ_18)
x sea bastante, suficientemente cercano a x sub 0.
53:53
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
53:55
S… Speaker 1 (civ_18)
Y existe delta.
53:58
S… Speaker 1 (civ_18)
Tal que para todo x en y.
54:03
S… Speaker 1 (civ_18)
Y si para todo x acá yo voy a escribir que está adentro de esta cosa.
54:16
S… Speaker 1 (civ_18)
Y esto me dice que si x es cercano a x sub 0 a menos de delta.
54:31
S… Speaker 1 (civ_18)
Y sin ser igual a x 0.
54:35
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces tenemos que f de x es cercano a L a menos de epsilon.
54:43
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, entonces f de x es cercano a L a menos de epsilon.
54:58
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, es un juego.
55:00
S… Speaker 1 (civ_18)
donde yo me doy una precisión, alguien me da una precisión, cualquiera,
55:07
S… Speaker 1 (civ_18)
que me dice, ok, yo voy a explicar las cosas.
55:26
S… Speaker 1 (civ_18)
Acá yo tengo mi función y yo tengo mi límite.
55:29
S… Speaker 1 (civ_18)
El límite está en el colominio.
55:32
S… Speaker 1 (civ_18)
Y acá yo tengo mi punto X sub cero.
55:35
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, lo que dice el enunciado, si yo fijo una precisión epsilon,
55:44
S… Speaker 1 (civ_18)
lo que me define esta banda.
55:52
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, esto me define una banda de precisión.
55:58
S… Speaker 1 (civ_18)
Para cualquier epsilon existe un radio delta, que es en el colominio,
56:07
S… Speaker 1 (civ_18)
que me define una banda horizontal, tal que la gráfica se queda acá.
56:15
S… Speaker 1 (civ_18)
Nunca deja la banda.
56:24
S… Speaker 1 (civ_18)
Y corresponde a la idea intuitiva que f de X es arbitrariamente,
56:30
S… Speaker 1 (civ_18)
y la cosa arbitraria es epsilon,
56:34
S… Speaker 1 (civ_18)
arbitrariamente cercano a L,
56:36
S… Speaker 1 (civ_18)
en cuanto sea X sea suficientemente,
56:40
S… Speaker 1 (civ_18)
es decir, a menos de delta,
56:43
S… Speaker 1 (civ_18)
cercano a X sub cero.
56:47
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, esa definición, y ahora vamos a ver que esto funciona.
56:51
S… Speaker 1 (civ_18)
Eso contiene todas las intuiciones que necesitamos.
56:58
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces hay que leer, no sé, 50 veces la definición,
57:03
S… Speaker 1 (civ_18)
ver cuál es la intuición y a partir de un tiempo se van a decir,
57:06
S… Speaker 1 (civ_18)
ah, pero es obvio.
57:08
S… Speaker 1 (civ_18)
Yo sé que por primera vez no es una cosa obvia.
57:12
S… Speaker 1 (civ_18)
Es normal porque los matemáticos,
57:14
S… Speaker 1 (civ_18)
ellos tuvieron un montón de problemas para hallar la definición.
57:20
S… Speaker 1 (civ_18)
Hallaron la definición en la segunda mitad del siglo XIX,
57:27
S… Speaker 1 (civ_18)
pero hicieron la pregunta en el siglo XVII y XVIII,
57:32
S… Speaker 1 (civ_18)
y no tenían una buena definición.
57:34
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces había que hacer un montón de investigación
57:37
S… Speaker 1 (civ_18)
para hallar la buena definición que funciona bien.
57:40
S… Speaker 1 (civ_18)
Y la razón es que sí, es una definición que no es fácil.
57:44
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, ahora vamos a ver qué esto dice.
57:47
S… Speaker 1 (civ_18)
Pero antes de esto hay que hacer una observación muy importante.
57:52
S… Speaker 1 (civ_18)
Pueden observar que acá hay una disimetría o asimetría
57:56
S… Speaker 1 (civ_18)
entre el dominio y el codominio.
58:00
S… Speaker 1 (civ_18)
El dominio es la cosa donde se habla de X sub cero y de delta.
58:06
S… Speaker 1 (civ_18)
El codominio corresponde a epsilon y F de X y L.
58:11
S… Speaker 1 (civ_18)
Ok, pueden ver que en el dominio
58:14
S… Speaker 1 (civ_18)
nunca, solo se consideran entornos reducidos.
58:19
S… Speaker 1 (civ_18)
Y, por otro lado, en el codominio se consideran entornos llenos.
58:26
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Qué significa esto?
58:28
S… Speaker 1 (civ_18)
Es que si miran bien, esta definición
58:31
S… Speaker 1 (civ_18)
nunca examina el valor de X sub cero.
58:36
S… Speaker 1 (civ_18)
El valor de F de X sub cero.
58:38
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, en el caso particular donde X sub cero está dentro de Y,
58:42
S… Speaker 1 (civ_18)
esta definición nunca examina el valor de X sub cero.
58:48
S… Speaker 2 (civ_18)
¿Por qué?
58:48
S… Speaker 1 (civ_18)
Porque por hipótesis acá, X es distinto de X sub cero.
58:53
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, F de X solo se examina lo que pasa alrededor de X sub cero,
58:57
S… Speaker 1 (civ_18)
pero X sub cero es un punto invisible.
59:01
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Entienden la idea?
59:02
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, una particularidad tiene una consecuencia muy importante.
59:08
S… Speaker 1 (civ_18)
Cuando existe, el valor de F en el punto X sub cero
59:13
S… Speaker 1 (civ_18)
no influye ni en la existencia del límite ni en su valor.
59:18
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, que si yo tengo una función que tiene límite acá,
59:26
S… Speaker 1 (civ_18)
yo puedo cambiar el valor de F de X sub cero porque no importa.
59:30
S… Speaker 1 (civ_18)
Es una cosa invisible por la definición.
59:33
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
59:36
S… Speaker 1 (civ_18)
Y es algo que vamos a ver.
59:38
S… Speaker 1 (civ_18)
Por ejemplo, cuando vamos a demostrar que esta función, no sé,
59:43
S… Speaker 1 (civ_18)
tiene límite L en X sub cero,
59:46
S… Speaker 1 (civ_18)
podremos, sin problema, cambiar la definición de la función
59:49
S… Speaker 1 (civ_18)
y decir, ah, este punto particular yo voy a moverlo acá
59:53
S… Speaker 1 (civ_18)
y no voy a cambiar la propiedad del límite.
59:56
S… Speaker 1 (civ_18)
El límite todavía estará acá.
1:00:00
S… Speaker 1 (civ_18)
Porque la definición del límite solo considera lo que pasa alrededor del punto x sub cero,
1:00:05
S… Speaker 1 (civ_18)
pero nunca considera lo que pasa exactamente en el punto x sub cero.
1:00:11
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, la observación es que el valor de f de x sub cero, cuando existe,
1:00:27
S… Speaker 1 (civ_18)
no influye ni en la existencia del límite, ni en su valor.
1:00:48
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok? Es decir, para saber cuál es el límite de una función en un punto x sub cero,
1:00:55
S… Speaker 1 (civ_18)
tenemos que mirar toda la función, salvo lo que pasa en el punto x sub cero, que es una cosa rara.
1:01:02
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, el punto de atención es el único punto donde nunca se examina el valor.
1:01:08
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, se puede ver como un intento de predicción del valor de x sub cero,
1:01:15
S… Speaker 1 (civ_18)
solo mirando lo que pasa alrededor.
1:01:20
S… Speaker 1 (civ_18)
Pero a veces no funciona, porque, por ejemplo, acá, si yo miro lo que pasa acá,
1:01:26
S… Speaker 1 (civ_18)
y lo que pasa acá, yo podría decir, una buena predicción para el valor de f de x sub cero sería l.
1:01:34
S… Speaker 1 (civ_18)
Pero desgraciadamente cambia la función y no.
1:01:37
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok? Pero es un intento de predecir lo que va a pasar en x sub cero,
1:01:42
S… Speaker 1 (civ_18)
solo mirando lo que pasa alrededor.
1:01:44
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok? Y después vamos a manipular, mostrar que se pueden hacer demostraciones con esta definición.
1:01:56
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok? Ahora vamos a continuar.
1:02:03
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok? Ah, y antes hay que hacer esta observación que dice que el valor de f de x sub cero no importa en la definición del límite.
1:02:16
S… Speaker 1 (civ_18)
También explica por qué no consideré un punto x sub cero de y.
1:02:24
S… Speaker 1 (civ_18)
No dije acá que x sub cero tendría que pertenecer a y.
1:02:29
S… Speaker 1 (civ_18)
Dije que x sub cero tenía que ser adherente a y.
1:02:33
S… Speaker 1 (civ_18)
Y esa es la misma razón.
1:02:34
S… Speaker 1 (civ_18)
No se necesita que x sub cero pertenezca a y.
1:02:41
S… Speaker 1 (civ_18)
Ejemplo, si yo tengo una función definida en este intervalo que me hace, por ejemplo, esta curva,
1:02:51
S… Speaker 1 (civ_18)
pero la función no está definida en los extremos de a a b.
1:02:58
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
1:02:59
S… Speaker 1 (civ_18)
Esto no me impide hacer una predicción de lo que va a pasar en a,
1:03:03
S… Speaker 1 (civ_18)
incluso cuando f no está definida en a.
1:03:06
S… Speaker 1 (civ_18)
Y de mismo modo, quizás que yo voy a poder hacer una predicción de lo que va a pasar en b,
1:03:11
S… Speaker 1 (civ_18)
sin saber, sin que la función sea definida en b.
1:03:15
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
1:03:16
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Entienden la idea?
1:03:18
S… Speaker 1 (civ_18)
Es la misma razón.
1:03:20
S… Speaker 1 (civ_18)
La razón es que la noción de límite nunca mirará los que pasa en el punto x sub cero,
1:03:26
S… Speaker 1 (civ_18)
entonces no se necesita que x sub cero, que en el punto x sub cero la función esté definida.
1:03:32
S… Speaker 1 (civ_18)
No se necesita.
1:03:34
S… Speaker 1 (civ_18)
Esa razón es porque pusimos x sub cero es un punto adherente.
1:03:39
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
1:03:42
S… Speaker 1 (civ_18)
Ahora vamos a ver ejemplos.
1:03:44
S… Speaker 1 (civ_18)
No, antes yo voy a demostrar un pequeño teorema.
1:03:49
S… Speaker 1 (civ_18)
Acá es claro que vamos a ver que hay un montón de funciones y un montón de puntos donde las funciones no tienen límites.
1:03:57
S… Speaker 1 (civ_18)
Pero, entonces, el límite no siempre existe.
1:04:00
S… Speaker 1 (civ_18)
Y vamos a ver un montón de contraejemplos.
1:04:03
S… Speaker 1 (civ_18)
Pero la cosa importante es que cuando el límite existe es único.
1:04:09
S… Speaker 1 (civ_18)
Y es la primera proposición que tenemos que demostrar.
1:04:11
S… Speaker 1 (civ_18)
Vamos a demostrar que el límite cuando existe es único.
1:04:15
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, que una función no puede tener dos límites distintos en un mismo punto.
1:04:28
S… Speaker 2 (civ_18)
Proposición.
1:04:29
S… Speaker 1 (civ_18)
Si yo tengo una función f, sean, yo me doy una función f definida en un intervalo y con interior no vacío.
1:04:42
S… Speaker 1 (civ_18)
Y yo me doy un punto adherente si f de x tiende a l cuando x tiende a x sub cero.
1:04:55
S… Speaker 1 (civ_18)
Y si f, la misma función, en el mismo punto.
1:05:01
S… Speaker 1 (civ_18)
tiende a otro límite, entonces L es igual a L prima, el límite es único. ¿Cuándo
1:05:11
S… Speaker 2 (civ_18)
existe? No siempre existe. Ok, hay que demostrarlo. Demostración por el absurdo. Supongamos, supongamos
1:05:38
S… Speaker 1 (civ_18)
que L es distinto de L prima y ahora yo voy a considerar, yo voy a obtener una contradicción
1:05:46
S… Speaker 1 (civ_18)
con esta definición que voy a aplicar dos veces porque tengo dos hipótesis de límites
1:05:53
S… Speaker 1 (civ_18)
y voy a obtener un radio de seguridad que va a ser imposible. ¿Cuál será el radio
1:06:00
S… Speaker 1 (civ_18)
de seguridad imposible en su opinión? Una buena aproximación sería la distancia entre L
1:06:08
S… Speaker 1 (civ_18)
y L prima. De hecho vamos a tomar la mitad. Entonces sea epsilon definido como la distancia
1:06:22
S… Speaker 1 (civ_18)
entre los dos números. Y es un número positivo porque por hipótesis supuse que eran distintos.
1:06:28
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces es un número positivo, es una buena precisión. La cosa interesante en matemática
1:06:34
S… Speaker 1 (civ_18)
es que una precisión puede ser cualquier número positivo. Ok, yo puedo elegir, yo puedo decir
1:06:41
S… Speaker 1 (civ_18)
ok, la precisión puede ser 10 millones de kilómetros o bien un nanómetro y no importa.
1:06:49
S… Speaker 1 (civ_18)
Yo puedo decir que por ejemplo en este momento estoy en la luna con una precisión de 10 millones
1:07:02
S… Speaker 1 (civ_18)
de kilómetros y es verdadero. Ok, pero si se cambia la precisión por un nanómetro tendré
1:07:11
S… Speaker 1 (civ_18)
más dificultades. Ok, entonces acá puedo tomar cualquier número positivo como precisión y
1:07:18
S… Speaker 1 (civ_18)
acá tomó, ah, no tomó, la distancia tomó dividida por 2. Ok, ahora vamos a ver lo que pasa a partir
1:07:32
S… Speaker 1 (civ_18)
de esta definición. Y vamos a aplicar la definición que ya borré, lo que es horrible. Ok, hay dos
1:07:48
S… Speaker 1 (civ_18)
observaciones. Por hipótesis sabemos que f tiende a L y que f tiende a L prima. Entonces
1:07:54
S… Speaker 1 (civ_18)
vamos a usar ambas hipótesis. Entonces, primera cosa, ¿cómo f de x tiende a L? Cuando x tiende
1:08:04
S… Speaker 1 (civ_18)
a x cero. Sabemos que para toda precisión, y ahora voy a usar esta precisión, existe un
1:08:11
S… Speaker 2 (civ_18)
radio. Entonces existe un primer radio. Existe un radio que voy a llamar delta, tal que para
1:08:25
S… Speaker 1 (civ_18)
todo x en el entorno reducido del centro x sub cero y de radio delta, intersección
1:08:37
S… Speaker 1 (civ_18)
y, tenemos que la distancia entre f de x y L es menor que y. Ok. O, no, yo voy a escribir
1:08:48
S… Speaker 1 (civ_18)
directamente que f de x está en el entorno que es equivalente del centro L y de radio y
1:08:57
S… Speaker 1 (civ_18)
de radio. Ok. Pero yo puedo aplicar mi segunda hipótesis que f también tiende a L prima.
1:09:11
S… Speaker 2 (civ_18)
Existe un radio. ¿El radio es el mismo o es otro radio? A priori. A priori no sabemos nada.
1:09:24
S… Speaker 2 (civ_18)
Entonces es otro radio. Es más seguro, ¿no? Delta prima, tal que para todo x delta prima,
1:09:41
S… Speaker 1 (civ_18)
de radio delta prima, intersección y. La distancia f de x pertenece al entorno de radio de centro
1:09:49
S… Speaker 1 (civ_18)
L prima y de radio Epsilon. Ok. Ahora es súper fácil. Ahora, ¿cuál es la idea?
1:09:57
S… Speaker 1 (civ_18)
Exacto.
1:09:58
S… Speaker 1 (civ_18)
Este es un Gitmo completo
1:10:00
S… Speaker 1 (civ_18)
Yo sé que todos los objetos que son cercano a x sub cero a menos delta cumplen la propiedad acá.
1:10:09
S… Speaker 1 (civ_18)
Y los objetos cercanos a x sub cero a menos delta prima cumplen la segunda propiedad.
1:10:16
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces voy a tomar un punto que cumple la condición más estricta.
1:10:21
S… Speaker 1 (civ_18)
Voy a tomar un punto en el entorno de radio el mínimo de delta y delta prima
1:10:27
S… Speaker 1 (civ_18)
para asegurarnos que el mismo punto pertenezca a ambos entornos.
1:10:34
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces se fija x que pertenece al entorno reducido del centro x sub cero
1:10:43
S… Speaker 1 (civ_18)
y de radio el mínimo de delta y delta prima, intersección.
1:10:51
S… Speaker 1 (civ_18)
Y ahora yo uso la famosa propiedad que ya borré
1:10:55
S… Speaker 1 (civ_18)
que dice que esta intersección nunca es vacía por la convención que y no tiene interior vacío.
1:11:05
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces se puede fijar un punto adentro.
1:11:07
S… Speaker 2 (civ_18)
Existe tal punto.
1:11:09
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Y cuál es la propiedad de tal punto?
1:11:12
S… Speaker 1 (civ_18)
Este punto es tan cercano a x sub cero que pertenece a la vez en este entorno y en este entorno.
1:11:24
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
1:11:25
S… Speaker 1 (civ_18)
Porque como el mínimo de delta y delta prima es menor que delta y que delta prima a la vez,
1:11:31
S… Speaker 1 (civ_18)
este punto x pertenece a la vez a este conjunto y a este conjunto no, no es claro, por inclusión.
1:11:44
S… Speaker 1 (civ_18)
Yo tomé el mínimo del radio y la idea es que el mínimo me construye el entorno reducido más pequeño.
1:11:52
S… Speaker 1 (civ_18)
Entre dos entornos reducidos, el problema es que acá yo tengo un radio delta y otro radio delta prima
1:11:57
S… Speaker 1 (civ_18)
para que esté seguro que yo estoy adentro, tomo el mínimo de ambos radios.
1:12:03
S… Speaker 1 (civ_18)
Esto me resuelve el problema.
1:12:05
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
1:12:05
S… Speaker 2 (civ_18)
Esto que dice acá.
1:12:07
S… Speaker 2 (civ_18)
Tomé este punto.
1:12:08
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, esto me muestra que estas dos condiciones se cumplen a la vez.
1:12:14
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
1:12:17
S… Speaker 1 (civ_18)
Luego, ¿qué tengo yo?
1:12:21
S… Speaker 1 (civ_18)
Que f de x pertenece al entorno de centro L y de radio epsilon y el mismo punto f de x pertenece al entorno de centro L prima y de radio epsilon.
1:12:34
S… Speaker 2 (civ_18)
¿Qué piensan de esta cosa?
1:12:35
S… Speaker 1 (civ_18)
Si miran la definición de epsilon, es imposible.
1:12:40
S… Speaker 1 (civ_18)
Ahora vamos a hacer la figura y van a ver que es imposible porque acá yo tengo mi...
1:12:48
S… Speaker 1 (civ_18)
Acá es una recta vertical porque los límites son cosas verticales.
1:12:53
S… Speaker 1 (civ_18)
Acá yo tengo L, acá yo tengo L prima, tomé epsilon como exactamente la mitad de la distancia.
1:13:01
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, acá obtengo el primer entorno está acá, el segundo entorno está acá, esto es el entorno de centro L y de radio epsilon,
1:13:15
S… Speaker 1 (civ_18)
esto es el entorno de centro L prima y de radio epsilon y no tienen ninguna intersección, no se intersectan.
1:13:23
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, obtuve un punto que debe pertenecer a la vez a dos entornos que no se intersectan por construcción.
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S… Speaker 1 (civ_18)
Es absurdo, absurdo, pues ambos conjuntos no se intersectan.
1:13:55
S… Speaker 1 (civ_18)
Y acá pueden ver cómo elegí construir epsilon de tal modo que ambos conjuntos no se intersecten.
1:14:07
S… Speaker 1 (civ_18)
La intuición es muy sencilla, hay otra forma para hacer la cosa.
1:14:12
S… Speaker 1 (civ_18)
Supongo que yo tengo dos límites, ¿ok?
1:14:18
S… Speaker 1 (civ_18)
Yo me fijo una precisión bastante pequeña para asegurar que estas dos bandas estén disjuntas.
1:14:28
S… Speaker 1 (civ_18)
Y como tengo un primer límite, yo sé que en algún radio la función está acá y en otro radio la función está acá, lo que es imposible.
1:14:49
S… Speaker 2 (civ_18)
Es exactamente lo que hice acá.
1:14:53
S… Speaker 2 (civ_18)
Entonces, es una imposibilidad.
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S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, la hipótesis de partida, que era que L es distinto de L prima, era fácil.
1:15:00
S… Speaker 1 (civ_18)
Falsa. Entonces, son iguales.
1:15:02
S… Speaker 1 (civ_18)
El límite cuando existe es único.
1:15:05
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
1:15:07
S… Speaker 1 (civ_18)
Yo sé que es una cosa difícil al comienzo.
1:15:11
S… Speaker 1 (civ_18)
Antes de ver ejemplo A, para terminar, perfecto.
1:15:15
S… Speaker 1 (civ_18)
Ahora vamos a terminar con la definición.
1:15:20
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
1:15:22
S… Speaker 1 (civ_18)
Vamos a terminar con la definición.
1:15:24
S… Speaker 1 (civ_18)
Yo sé que tales figuras son un poquito complicadas al comienzo.
1:15:29
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Están perdidos?
1:15:31
S… Speaker 2 (civ_18)
¿No todos?
1:15:32
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Casi todos?
1:15:35
S… Speaker 1 (civ_18)
Yo sé que es una cosa difícil.
1:15:38
S… Speaker 1 (civ_18)
Acá es un capítulo difícil.
1:15:42
S… Speaker 1 (civ_18)
Y yo tengo que decir que quizás es el capítulo más difícil de todo el curso.
1:15:49
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, la buena noticia es que en dos semanas se van a poder descansar.
1:15:55
S… Speaker 1 (civ_18)
¡Ah, no! Habrá el primer pasión.
1:16:02
S… Speaker 1 (civ_18)
La fecha, el problema es que solo tuvimos una fecha tentativa.
1:16:07
S… Speaker 1 (civ_18)
Voy a hablar después de esto, al final de la clase.
1:16:13
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Ok?
1:16:15
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Qué hay que decir?
1:16:17
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, sí, antes de continuar hay que hacer una observación.
1:16:21
S… Speaker 1 (civ_18)
Vimos que el límite tiene sentido cuando x sub 0, que es el punto de referencia, está dentro de y, o bien cuando es un extremo de y.
1:16:30
S… Speaker 1 (civ_18)
Ahora vamos a considerar el caso particular donde x sub 0 pertenece ahí.
1:16:37
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, la observación es que en el caso donde x sub 0 pertenece ahí, hay esencialmente tres situaciones posibles.
1:17:02
S… Speaker 1 (civ_18)
La primera situación es que la función f no tenga límite.
1:17:15
S… Speaker 1 (civ_18)
Primer caso, o bien f no tiene límite en el punto x sub 0.
1:17:28
S… Speaker 1 (civ_18)
Primer caso posible.
1:17:30
S… Speaker 1 (civ_18)
Segundo caso posible es o bien f tiene límite, L, pero un límite que es distinto del valor de f de x sub 0.
1:17:51
S… Speaker 1 (civ_18)
Porque ahora, ¿cómo consideramos el caso donde x 0 está en y?
1:17:55
S… Speaker 1 (civ_18)
f de x sub 0 tiene sentido.
1:17:58
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces, ahora tenemos dos posibilidades en el caso de existencia de límite.
1:18:02
S… Speaker 1 (civ_18)
O bien el límite es igual a f de x sub 0.
1:18:06
S… Speaker 1 (civ_18)
En esta cosa podríamos decir que el límite era una buena predicción del valor.
1:18:12
S… Speaker 1 (civ_18)
O bien, no, era una mala predicción en este caso.
1:18:15
S… Speaker 1 (civ_18)
Y ahora el último caso es, o bien f tiene límite igual.
1:18:27
S… Speaker 1 (civ_18)
Acá hay que entender que hay tres casos, quizás que yo voy a hacer los dibujos.
1:18:37
S… Speaker 1 (civ_18)
Primer caso, la función hace cualquier cosa alrededor de x sub 0.
1:18:42
S… Speaker 1 (civ_18)
Por ejemplo, hace cosas así, oscila demasiado y no tiene límite.
1:18:49
S… Speaker 1 (civ_18)
¿Por qué oscila demasiado alrededor de x sub 0?
1:18:54
S… Speaker 1 (civ_18)
Infinitas veces.
1:18:56
S… Speaker 1 (civ_18)
Esto no tiene límite.
1:18:59
S… Speaker 1 (civ_18)
Segunda cosa posible, la función tiene algún límite acá, pero no es el valor de f en este punto.
1:19:12
S… Speaker 1 (civ_18)
Acá es el límite, pero de repente en el punto salta y hace otra cosa.
1:19:18
S… Speaker 1 (civ_18)
Y la última vez, la última cosa importante, es el caso donde el límite coincide con el valor de la función.
1:19:27
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, l es igual a f de x sub 0.
1:19:30
S… Speaker 1 (civ_18)
Es el tercer caso posible.
1:19:32
S… Speaker 1 (civ_18)
Y en este caso, en el último caso, diremos que la función es continua en el punto x sub 0.
1:19:39
S… Speaker 1 (civ_18)
Yo escribo y después, ok.
1:19:45
S… Speaker 1 (civ_18)
En el último caso, se dice que f es continua en el...
1:19:59
S… Speaker 1 (civ_18)
¡Gracias!
1:19:59
S… Speaker 1 (civ_18)
¡Gracias!
1:20:00
S… Speaker 1 (civ_18)
Punto x sub cero.
1:20:02
S… Speaker 2 (civ_18)
Pregunta.
1:20:08
S… Speaker 1 (civ_18)
Acá la idea es que considere solo el caso donde x cero está en el dominio.
1:20:14
S… Speaker 1 (civ_18)
Esa razón es porque considere solo este caso particular.
1:20:17
S… Speaker 1 (civ_18)
La noción de continuidad solo tiene sentido en un punto donde la función está definida.
1:20:25
S… Speaker 1 (civ_18)
Es decir, hay dos niveles de lectura.
1:20:28
S… Speaker 1 (civ_18)
Hay el nivel de lectura de los límites que tienen sentido incluso para los extremos cuando no pertenecen al intervalo.
1:20:36
S… Speaker 1 (civ_18)
Pero el segundo nivel, que es el nivel de lectura de continuidad, requiere que el punto pertenezca al intervalo.
1:20:45
S… Speaker 1 (civ_18)
Esa razón es porque en la figura puse el punto.
1:20:48
S… Speaker 1 (civ_18)
Pero es claro que cuando tenemos límite, como el límite no verifica nada sobre lo que pasa en el punto,
1:20:56
S… Speaker 1 (civ_18)
quizás que el punto tiene otro valor.
1:20:59
S… Speaker 1 (civ_18)
Entonces hay que diseñar tres casos.
1:21:02
S… Speaker 1 (civ_18)
Existencia de límite, límite distinto del valor y límite igual.
1:21:08
S… Speaker 1 (civ_18)
En el último caso, tenemos la definición de continuidad en un punto.
1:21:12
S… Speaker 1 (civ_18)
Y por definición, diremos que una función es continua en el intervalo cuando es continua en todos los puntos.
1:21:20
S… Speaker 1 (civ_18)
Y ahora tenemos una definición formal de la noción de continuidad.
1:21:23
S… Speaker 1 (civ_18)
Gracias. Vamos a continuar la próxima vez sobre este tema.
1:21:27
S… Speaker 1 (civ_18)
Gracias.
1:21:27
S… Speaker 1 (civ_18)
Gracias.
1:21:27
S… Speaker 1 (civ_18)
Gracias.
1:21:27
S… Speaker 1 (civ_18)
Gracias.

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